Newton'sche Verfahren

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Lessi96 Auf diesen Beitrag antworten »
Newton'sche Verfahren
Meine Frage:
Liebe Grüße meinerseits,

ich soll das Newton'sche Verfahren nutzen um Nullstellen zu bestimmen.
Dabei soll ch mit der angegebenen Anzahl von signifikanten stellen n für vier Schritte rechnen.
Beginnen soll ich mit einem Schritt der Intervallschachtelung um einen geeigneten Startwert zu erhalten.

für und

Meine Ideen:
In meinen Unterlagen steht:

Die Approximation einer Wurzel von errechnet sich aus der Approximation mit folgender Gleichung:



Vorweg muss ich jedoch die Intervallschachtelung durchführen:



In dem Fall mit: und

Jetzt ist der Punkt wo ich nicht mehr genau weiter weiß. Setze ich das dann in die Newton Formel ein und dann habe ich meine Nullstelle? Und wie geht der nächste Schritt dann?

Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte. Danke.

Alessia
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

deine Gleichung ist eine Rekursion. aus k1 folgt k2 durch einsetzen und daraus k3 . usw .

mit etwas glück nähert sich die folge der nullstelle.
Lessi96 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
mit etwas glück nähert sich die folge der nullstelle.

Naja wenn ich das meinem Matheprof in der Klausur erzähle dann wird er nicht so begeistert sein.
Zitat:
Original von Dopap
deine Gleichung ist eine Rekursion. aus k1 folgt k2 durch einsetzen und daraus k3 . usw .

Also:






So müsste das funktionieren?

Alessia danke
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja,

nach den notwendigen , respektive hinreichenden Bedingung wurde nicht gefragt. stehen aber sicher im script.
Lessi96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton'sche Verfahren
Zitat:
Original von Lessi96
In meinen Unterlagen steht:

Die Approximation einer Wurzel von errechnet sich aus der Approximation mit folgender Gleichung:



Das ist die Definition. Bedingungen sehe ich jetzt keine. Ist denn das Runden so richtig? Also auf die sechste signifikante Stelle?

Grüße Alessia
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Fest steht, dass die Iteration konvergent sein soll, das heisst, die Iteration muss immer näher an die Nullstelle heranführen.
Das hängt einerseits von der Wahl des Startwertes ab und anderseits davon, ob sich zwischen Startstelle und Nullstelle ein Extrempunkt oder Wendepunkt befindet.
------------
Vorzugsweise wird man zunächst eine Wertetabelle erstellen und dann nachsehen, zwischen welchen Stellen sich ein Vorzeichenwechsel ergibt. Die Nullstelle ist dann ebenfalls zwischen diesen beiden Stellen zu orten.



Nach der Intervallhalbierung sieht man - mittels Einsetzen der Grenzen in die gegebene Funktion (!) - , dass im linken Intervall kein Vorzeichenwechsel stattfindet, im rechten Intervall aber schon.
Setzt man wieder dessen Grenzen in die Funktion ein, ist sofort zu erkennen, dass die Nullstelle sehr nahe bei 1 liegt.
Also wirst du 1 als Startwert nehmen. Die Anzahl der Iterationen ist durch die geforderte Genauigkeit bestimmt. Ob man bei 6 genauen Dezimalstellen mit n = 4 auskommt, wird erst die Rechnung zeigen.
Unter Umständen muss man noch Iterationen daranhängen.
------------
Bei der Bestimmung mittels Technologieeinsatz (CAS, EXCEL, ..) erhalten wir sehr schnell die geforderte Genauigkeit, schon bei n = 2 (3)

[attach]42303[/attach]

mY+
 
 
Lessi96 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mYthos,

also die Betrachtung des Vorzeichenwechsel spielt bei der Intervallschachtelung eine Rolle, aber beim Newton-Verfahren doch nicht? Oder ist bei der Bestimmung des Startwert diese Beobachtung nötig?

Alessia
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das gehört zu den notwendigen Bedingungen und garantiert bei stetigen Funktionen die Existenz mindestens einer nullstelle im Intervall.
Lessi96 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber doch nicht für das Newtonverfahren für ?

Für den ersten Schritt der Intervallschachtelung gilt ja:

Wenn
Wenn

Mit muss ich das ja beim Newtonverfahren nicht mehr berücksichtigen?

Irgendwie ist das mir noch unklar verwirrt

Alessia
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

was rechnest du denn da ?

ob im Intervall [a; b] mindestens ein nullstelle existiert ist richtig , wenn f(a)f(b)< 0 gilt.
das hat mit der Wahl des startwertes nix zu tun.
Lessi96 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
was rechnest du denn da ?
ob im Intervall [a; b] mindestens ein nullstelle existiert ist richtig , wenn f(a)f(b)< 0 gilt.

Naja das ist dann das weitere Vorgehen bei der Intervallschachtelung. Ich dachte man muss dies eventuell noch bei der Bestimmung des Startwertes berücksichtigen.

Zitat:
Original von Dopap
das hat mit der Wahl des startwertes nix zu tun

Okay, dann rechne ich so wie ich es gemacht habe nach der Bestimmung des Startwertes mit der Formel aus Beitrag #1.

Alessia
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

gut so. man wählt einen startwert - woher auch immer. Wink
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