Häufungswerte, 2er Potenzen

17.07.2016, 17:31

StrunzMagi

Häufungswerte, 2er Potenzen

Wir definieren eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_j)_{j\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ durch
$\begin{eqnarray*} a_j=\frac{j-2^k}{2^k}, 2^k \le j < 2^{k+1} \end{eqnarray*}$
Bestimmen Sie die Häufungswerte von $\begin{eqnarray*} (a_j)_{j\in\mathbb{N}}. \end{eqnarray*}$

Hallo,
$\begin{eqnarray*} 0= \frac{2^k-2^k}{2^k} \le a_j < \frac{2^{k+1}-2^k}{2^k} = 1 \end{eqnarray*}$

Die Folge lautet: $\begin{eqnarray*} 0,0,1/2,0,1/4,2/4,3/4,0,1/8,2/8,3/8,4/8,5/8,6/8,7/8,0,1/16... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{2^j}= \frac{2^j - 2^j}{2^j}=0 \Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ ist ein Häufungswert.

1/2 wird angenommen von $\begin{eqnarray*} a_3, a_6, a_{12}, a_{24},... \end{eqnarray*}$
1/4 wird angenommen von $\begin{eqnarray*} a_5, a_{10}, a_{20},... \end{eqnarray*}$
1/8 wird angenommen von $\begin{eqnarray*} a_{9},a_{18},... \end{eqnarray*}$
1/16 wird angenommen von $\begin{eqnarray*} a_{17},a_{34},... \end{eqnarray*}$

Daraus folgt meine Vermutung: $\begin{eqnarray*} 1/2^j \end{eqnarray*}$ ist für jedes j ein Häufungswert mit der Teilfolge $\begin{eqnarray*} (a_{(2^j+1)*2^n})_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ .
Nachgerechnet: $\begin{eqnarray*} a_{(2^j+1)*2^n}= \frac{(2^j+1)*2^n - 2^{j+n}}{2^{j+n}}=\frac{2^n}{2^{j+n}}=\frac{1}{2^j} \Rightarrow \frac{1}{2^j} \end{eqnarray*}$ ist für jedes $\begin{eqnarray*} j \ge 1 \end{eqnarray*}$ ein Häufungswert.

Weitere Vermutung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^j},..,\frac{2^j -1}{2^j} \end{eqnarray*}$ sind Häufungswerte mit der jeweiligen Teilfolge $\begin{eqnarray*} (a_{(2^j+i)*2^n})_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1 \le i \le 2^j -1 \end{eqnarray*}$ .
Nachgerechnet: $\begin{eqnarray*} a_{(2^j+i)*2^n}= \frac{(2^j +i)*2^n - 2^{j+n}}{2^{j+n}}=\frac{i*2^n}{2^{i+n}}=\frac{i}{2^j} \end{eqnarray*}$

Fragen:
Ich vermute 1 ist auch ein Häufungswert?
Wie weiß ich ob das alle Häufungswerte sind?

17.07.2016, 17:55

HAL 9000

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Treibst ja dieses Wochenende eine Sau nach der anderen durchs Dorf...

Die Menge der Häufungswerte dieser Folge ist viel, viel größer: Sie umfasst das gesamte Intervall $\begin{align*} [0,1] \end{align*}$ , d.h. tatsächlich alle reellen Zahlen darin.

17.07.2016, 19:36

StrunzMagi

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Du meinst weil ich 5 Fragen gestellt hab dieses Wochenende? Ich hoffe das ist in Ordnung/die anderen sind ja schon alle abgeschlossen bzw. für mich gegklärt.

Unsere definition:
Ein Punkt $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist ein Häufungswert der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ , wenn für jede Umgebung $\begin{eqnarray*} U \in \mathcal{N}(x) \end{eqnarray*}$ die Menge $\begin{eqnarray*} \{n \in \mathbb{N}: a_n \in U \} \end{eqnarray*}$ unendlich ist.

Sei also $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U \in \mathcal{N} (x) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon>0: B_{\epsilon}(x) \subseteq U \end{eqnarray*}$ .
gZZ.: $\begin{eqnarray*} \{n \in \mathbb{N}| a_n \in B_{\epsilon}(x) \} \end{eqnarray*}$ ist unendlich

Ist das überhaupt zielführend mit der Definition zu arbeiten oder war das mit Teilfolgen schon besser?
Kannst du mir da vlt. noch einen Tipp geben?

17.07.2016, 19:41

HAL 9000

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Nun, ich weiß nicht, wieviel du über Häufungswerte weißt: Der Grenzwert einer jeden konvergenten Teilfolge von $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ ist auch Häufungswert der Gesamtfolge.

Für $\begin{align*} x\in [0,1) \end{align*}$ gilt $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} a_{2^k + \left\lfloor 2^kx\right\rfloor} = x \end{align*}$ .

Und für $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ ist einfach $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} a_{2^{k+1}-1} = 1 \end{align*}$ .

17.07.2016, 20:46

StrunzMagi

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Hallo,

Den Fall für x=1 habe ich verstanden und verstehe auch wie man darauf kommt.

Den Fall für $\begin{eqnarray*} x \in [0,1( \end{eqnarray*}$ :

Auffinden von s sodass $\begin{eqnarray*} 2^s \le 2^k + \lfloor 2^k*x \rfloor < 2^{s+1} \end{eqnarray*}$ :
Wegen $\begin{eqnarray*} 2^k + \lfloor 2^k*x \rfloor \le 2^k+2^kx=2^k(1+x) < 2^{k+1} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} s \le k \end{eqnarray*}$
Wegen $\begin{eqnarray*} 2^k < 2^k+1 = 2^k +(\lfloor x \rfloor)^{2k} \le 2^k + \lfloor 2^k*x \rfloor \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} s \ge k \end{eqnarray*}$
Also s=k.

So ist $\begin{eqnarray*} a_{ 2^k + \lfloor 2^k*x \rfloor }= \frac{ 2^k + \lfloor 2^k*x \rfloor - 2^k}{2^k}= \frac{\lfloor 2^k x \rfloor}{2^k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x- \frac{1}{2^k} =\frac{2^k x-1}{2^k} \le a_{ 2^k + \lfloor 2^k*x \rfloor }=\frac{\lfloor 2^k x \rfloor}{2^k} < \frac{2^k x}{2^k} =x \end{eqnarray*}$
Aus Sandwichlemma folgt die Konvergenz gegen x.

!!!
Ich wüsste gerne die Hintertür, wie man auf diese Folge kommt! Kannst du mir das verraten? Ich weiß ein Zauberer verrät nicht gerne seine Tricks.. Augenzwinkern

Es würde mir aber sehr helfen!

17.07.2016, 21:44

HAL 9000

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Zwischen $\begin{align*} a_{2^k} \end{align*}$ und $\begin{align*} a_{2^{k+1}-1} \end{align*}$ durchwandern die Folgenwerte gleichabständig das Intervall $\begin{align*} [0,1] \end{align*}$ , um dann mit $\begin{align*} a_{2^{k+1}} \end{align*}$ einen neuen Durchlauf zu starten, diesmal mit halbierter Schrittweite. Da muss man nur ein bisschen rumrechnen um rauszukriegen, welcher Index im Indexintervall $\begin{align*} \left[2^k,2^{k+1}-1\right] \end{align*}$ dem Wert $\begin{align*} x \end{align*}$ naheliegt. Da ist keine Zauberei am Werk, allenfalls Erfahrung und saubere Technik.

17.07.2016, 22:13

StrunzMagi

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Aber wie kommt man auf die Gaußklammer in dem Zusammenhang?

LG,
MaGi

17.07.2016, 22:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Aber wie kommt man auf die Gaußklammer in dem Zusammenhang?

Indexwerte müssen ganze Zahlen sein. Wie kommt man von einer reellen Zahl auf die nächstliegende kleinere ganze Zahl?

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