Lösungen von x^2+xy+y^2 = 3 gesucht

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forbin Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungen von x^2+xy+y^2 = 3 gesucht
Hallo,

ich rechne gerade eine Aufgabe durch und mein Ergebnis kommt mir viel zu kompliziert vor.
Gesucht sind alle Lösungen der Gleichung .

Nun, der Punkt ist ja Lösung dieser Gleichung, also nehme ich mir alle Geraden mit steigung m durch diesen Punkt:
.

Das setze ich dann gleich:






Nun dividieren durch [/latex](m^{2}+m+1[latex] und pq-Formel benutzen.
Da kommt leider nicht sehr schönes raus, was für die Aufgaben unüblich ist.
Ist mein Weg bisher denn korrekt?
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungen von x^2+xy+y^2 = 3 gesucht
Da die Gleichung nichtlinear ist, werden die Loesungen kaum auf einer Geraden liegen.
 
 
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

betrachte doch einfach die Ursprungsgleichung als quadr. Gleichung in x bzw. y und benutz dann die pq-Formel bzw. Diskriminante.
Worauf beruht dein Ansatz?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, die Lösungsmenge ist eine Ellipse:



Es gibt natürlich verschiedene Möglichkeiten, diese Ellipse zu parametrieren.
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ohne großartig zu rechnen sieht man direkt das die Lösungsmenge eine Ellipse darstellt. Betrachte die symmetrische Matrix

Du wirst feststellen das positiv definit ist und damit stellt die Lösungsmenge der Gleichung eine Ellipse dar. Die Achsenschnittpunkte erhälst du mit wobei ein Eigenwert von ist. Damit kannst du dir dann diene Ellipsengleichung in Normalform basteln. Beachte, diese lautet . Das bedeutet, beachte die 3 in deiner Gleichung.

Viele Grüße
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ forbin

Dein Ansatz führt auf eine rationale Parameterdarstellung der Lösungsmenge der Gleichung (einer Ellipse, wie andere bereits festgestellt haben). Da die Gerade



auf jeden Fall den Punkt mit gemeinsam hat, muß die Gleichung, die du gefunden hast, die Lösung haben. In normierter Form lautet die quadratische Gleichung



Nach dem Satz von Vieta muß für die zweite Lösung folglich



gelten. Löst man das nach auf, findet man



Setzt man in die Geradengleichung ein, erhält man



Damit ist



eine Parameterdarstellung der Lösungskurve . Lediglich derjenige Punkt von , der zusammen mit eine vertikale Gerade bestimmt, wird nicht erfaßt (denn unter den Geraden fehlt die vertikale). Man erhält ihn aber für :

forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Habe es raus, danke!
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