Lösungen von x^2+xy+y^2 = 3 gesucht

17.07.2016, 19:30	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungen von x^2+xy+y^2 = 3 gesucht Hallo, ich rechne gerade eine Aufgabe durch und mein Ergebnis kommt mir viel zu kompliziert vor. Gesucht sind alle Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray} x^{2}+xy+y^{2}=3 \end{eqnarray}$ . Nun, der Punkt $\begin{eqnarray} P=(1,1) \end{eqnarray}$ ist ja Lösung dieser Gleichung, also nehme ich mir alle Geraden mit steigung m durch diesen Punkt: $\begin{eqnarray} y=m(x-1)+1 \end{eqnarray}$ . Das setze ich dann gleich: $\begin{eqnarray} x^{2}+x(m(x-1)+1)+y^{2}=3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <=> x^{2} + xm(x-1)+x+(m(x-1)+1)^{2}=3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <=> x^{2} + mx^{2}-mx+x+m^{2}(x-1)^{2}+2m(x-1)+1 = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <=> x^{2} + mx^{2}-mx+x+m^{2}x^{2}-m^{2}2x+m^{2}+2mx-2m-2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <=> x^{2}(1+m+m^{2} + x(+1-2m^{2}+m)+(m^{2}-2m-2) = 0 \end{eqnarray}$ Nun dividieren durch [/latex](m^{2}+m+1[latex] und pq-Formel benutzen. Da kommt leider nicht sehr schönes raus, was für die Aufgaben unüblich ist. Ist mein Weg bisher denn korrekt?
17.07.2016, 19:52	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungen von x^2+xy+y^2 = 3 gesucht Da die Gleichung nichtlinear ist, werden die Loesungen kaum auf einer Geraden liegen.
17.07.2016, 19:53	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, betrachte doch einfach die Ursprungsgleichung als quadr. Gleichung in x bzw. y und benutz dann die pq-Formel bzw. Diskriminante. Worauf beruht dein Ansatz?
17.07.2016, 19:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, die Lösungsmenge ist eine Ellipse: Es gibt natürlich verschiedene Möglichkeiten, diese Ellipse zu parametrieren.
17.07.2016, 21:11	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ohne großartig zu rechnen sieht man direkt das die Lösungsmenge eine Ellipse darstellt. Betrachte die symmetrische Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & \\ 1 & 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Du wirst feststellen das $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ positiv definit ist und damit stellt die Lösungsmenge der Gleichung eine Ellipse dar. Die Achsenschnittpunkte erhälst du mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{\lambda_i}} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist. Damit kannst du dir dann diene Ellipsengleichung in Normalform basteln. Beachte, diese lautet $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \end{eqnarray}$ . Das bedeutet, beachte die 3 in deiner Gleichung. Viele Grüße
17.07.2016, 21:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ forbin Dein Ansatz führt auf eine rationale Parameterdarstellung der Lösungsmenge $\begin{align} E \end{align}$ der Gleichung (einer Ellipse, wie andere bereits festgestellt haben). Da die Gerade $\begin{align} g_t: \ y = t(x-1)+1 \end{align}$ auf jeden Fall den Punkt $\begin{align} P \end{align}$ mit $\begin{align} E \end{align}$ gemeinsam hat, muß die Gleichung, die du gefunden hast, die Lösung $\begin{align} x=1 \end{align}$ haben. In normierter Form lautet die quadratische Gleichung $\begin{align} x^2 + \frac{-2t^2+t+1}{t^2+t+1} \cdot x + \frac{t^2-2t-2}{t^2+t+1} = 0 \end{align}$ Nach dem Satz von Vieta muß für die zweite Lösung $\begin{align} \xi \end{align}$ folglich $\begin{align} \xi+1 = - \frac{-2t^2+t+1}{t^2+t+1} \end{align}$ gelten. Löst man das nach $\begin{align} \xi \end{align}$ auf, findet man $\begin{align} \xi = \frac{t^2-2t-2}{t^2+t+1} \end{align}$ Setzt man $\begin{align} x=\xi \end{align}$ in die Geradengleichung ein, erhält man $\begin{align} y = \frac{-2t^2-2t+1}{t^2+t+1} \end{align}$ Damit ist $\begin{align} \text{()} \ \ x = \frac{t^2-2t-2}{t^2+t+1} \, , \ \ y = \frac{-2t^2-2t+1}{t^2+t+1} \, ; \ \ t \in \mathbb{R} \end{align}$ eine Parameterdarstellung der Lösungskurve $\begin{align} E \end{align}$ . Lediglich derjenige Punkt $\begin{align} P_{\infty} \end{align}$ von $\begin{align} E \end{align}$ , der zusammen mit $\begin{align} P \end{align}$ eine vertikale Gerade bestimmt, wird nicht erfaßt (denn unter den Geraden $\begin{align} g_t \end{align}$ fehlt die vertikale). Man erhält ihn aber für $\begin{align} t \to \pm \infty \end{align}$ : $\begin{align} P_{\infty} = (1,-2) \end{align*}$
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17.07.2016, 23:23	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe es raus, danke!

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