Mehrdimensionale Funktion: Stetigkeit in (0,0)

18.07.2016, 14:01	asd123	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehrdimensionale Funktion: Stetigkeit in (0,0) Meine Frage: Ich soll prüfen, ob die folgende Funktion in (0,0) stetig ist. f(x,y)= $\begin{eqnarray} \frac{y^{4}}{y^{3}+x^{3}} \end{eqnarray}$ wenn x,y nicht 0,0 $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ wenn x,y = 0,0 Meine Ideen: Ich würde in x und in y-Richtung prüfen: In x-Richtung: $\begin{eqnarray} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} \end{eqnarray}$ bei h gegen 0 ergibt $\begin{eqnarray} \frac{0}{h} \end{eqnarray}$ Das geht gegen 0 In y-Richtung: $\begin{eqnarray} \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} \end{eqnarray}$ bei h gegen 0 ergibt $\begin{eqnarray} \frac{h}{h} \end{eqnarray}$ . Dies sollte für h gegen 0 auch gegen 0 gehen (oder habe ich da einen Denkfehler?) Wäre dann so die Stetigkeit in 0 bewiesen?
18.07.2016, 14:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionale Funktion: Stetigkeit in (0,0) Die Funktion ist nicht einmal wohldefiniert. Für $\begin{eqnarray} x = -y \end{eqnarray}$ teilt man durch 0.
18.07.2016, 14:46	asd123	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay und wenn man das ändern würde mit x ungleich -y
18.07.2016, 14:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann mag sie wohldefiniert sein, aber stetig ist sie dennoch nicht. Die partiellen Ableitungen haben recht wenig mit der Stetigkeit der Funktion selbst zu tun. Erst wenn diese stetig wären, könnte man auf die Stetigkeit der Funktion schließen -- was in dem Fall die Stetigkeit von einer Funktion auf eine Situation verlagert, in der man 2 Funktionen auf Stetigkeit prüfen müsste.
18.07.2016, 14:55	asd123	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das sagt mir leider recht wenig Wie gehe ich dann am besten vor?
18.07.2016, 15:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Finde eine Folge $\begin{eqnarray} (x_n, y_n) \to 0 \end{eqnarray}$ s.d. $\begin{eqnarray} f(x_n, y_n) \not\to 0 \end{eqnarray}$ . Dass $\begin{eqnarray} x_n = -y_n \end{eqnarray}$ zum Testen "ausgeschlossen" wurde, ändert nichts an der Tatsache, dass es schief gehen muss, wenn man $\begin{eqnarray} x_n \approx -y_n \end{eqnarray}$ wählt.
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18.07.2016, 15:17	Ümme	Auf diesen Beitrag antworten »
Um zu zeigen, dass eine Funktion nicht stetig in einem Punkt ist, recht es zu zeigen, dass der Grenzwert, wenn du dich dem Punkt auf irgendeinem Weg näherst, ungleich dem Funktionswert im Punkt selbst ist. Im eindimensionalen gibt es nur zwei verschiedene Wege: Von links und von rechts. Im mehrdimensionalen gibt es leider unendlich viele Wege, aber ein einziges Gegenbeispiel reicht ja schon. Am einfachsten ist es immer erst einmal die vier Wege zu betrachten, die eine Variable konstant lassen und die andere von links oder rechts gegen den Punkt laufen lassen. Und das reicht in deinem Fall leider nicht: Man erhält als Grenzwert 0, egal ob man x=0 oder y=0 setzt und egal ob man sich von links oder von rechts nähert. Bewegst du dich allerdings auf der Wurzelfunktion y=sqrt(x) <=> y^2=x für x>0 auf den Ursprung zu erhälst du als Grenzwert unendlich (oder keinen Grenzwert je nach Definition) Daran siehst du, dass die Funktion nicht stetig sein kann. Die einzelnen Grenzwerte kannst du bestimmt selbst ausrechnen.

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