DGL per Substituion lösen

19.07.2016, 10:38	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL per Substituion lösen Hallo, Betrachte für $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ die folgende DGL: $\begin{eqnarray} \dot x =-tx+e^{-t^2/3}\sqrt[3]{x} \end{eqnarray}$ Bestimme die Lösung zum Anfangswert $\begin{eqnarray} x(0)=x_0>0 \end{eqnarray}$ Lösung: Mit der Substitution $\begin{eqnarray} y=x^{2/3} \end{eqnarray}$ transformieren wir die DGl auf die Form: $\begin{eqnarray} 3\dot y=-2ty+2e^{-t^2/3} \end{eqnarray}$ Die allg. Lösung dieser DGL ist gegeben durch: $\begin{eqnarray} y(t)=\bigg ( C + \frac{2t}{3}\bigg )e^{-t^2/3} \end{eqnarray}$ Frage 1: Wie kamen die mittels der Substituion auf diese neue Form? ich seh das nicht. Frage 2: Wie wurde die DGL dann schlussendlich gelöst? Merci
19.07.2016, 11:05	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben ist die Dgl. $\begin{eqnarray} \dot x=-tx+e^{-t^2/3}\cdot x^{1/3} \end{eqnarray}$ Multiplikation mit $\begin{eqnarray} x^{1/3} \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} \underbrace{\dot x \cdot x^{1/3}}_{\tfrac{3}{2} \tfrac{d x^{2/3}}{dt}}=-t\cdot \underbrace{x^{4/3}}_{(x^{2/3})^2}+e^{-t^2 /3}\cdot x^{2/3} \end{eqnarray}$ Auf der linken Seite haben wir die Kettenregel benutzt. Die Subtstition $\begin{eqnarray} x^{2/3}=y \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} \tfrac{3}{2}\tfrac{dy}{dt}=-t\cdot y^2+e^{-t^2 /3}\cdot y \end{eqnarray}$
19.07.2016, 13:27	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich sehe nicht wie du mittels Kettenregel die linke Seite der Gleichung umformst und auf das kommst. Auch wenn ich es sehen würde, wäre die Frage 1 damit noch nicht beantwortet, da der letzte Term der rechten Seite, also $\begin{eqnarray} e^{-t^2/3} \end{eqnarray}$ nicht von y abhängig soll/darf. Dazu teilen wir also durch $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ und bekommen links: $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dt}\frac{1}{y} \end{eqnarray}$ , das ist aber nie gleich $\begin{eqnarray} \dot y \end{eqnarray}$ . Wo ist mein Problem?
20.07.2016, 08:10	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu lösen ist $\begin{eqnarray} \dot x=-tx+e^{-t^2/3}\cdot x^{1/3} \end{eqnarray}$ Wir benutzen die Subtsitution $\begin{eqnarray} y=x^{2/3} \end{eqnarray}$ oder umgestellt $\begin{eqnarray} x=y^{3/2} \end{eqnarray}$ Differenzieren ergibt mittels Kettenregel $\begin{eqnarray} \dot x=\underbrace{\tfrac{3}{2}y^{1/2}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot \underbrace{\dot y}_{\text{innere Ableitung}} \end{eqnarray}$ Einsetzen von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \dot x \end{eqnarray}$ in die obige Differenzialgleichung ergibt $\begin{eqnarray} \tfrac{3}{2}y^{1/2}\dot y=-ty^{3/2}+e^{-t^2/3}y^{1/2} \end{eqnarray}$ Multiplikation mit $\begin{eqnarray} 2y^{-1/2} \end{eqnarray}$ ergibt wunschgemäß eine inhomogene lineare Differenzialgleichung, die sich mit Standardverfahren lösen lässt. $\begin{eqnarray} 3\dot y=-2ty+2e^{-t^2/3} \end{eqnarray}$

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