Integral mit Kugel- und Zylinderkoordinaten

19.07.2016, 12:40

SoundlessPain

Integral mit Kugel- und Zylinderkoordinaten

Meine Frage:
Hallo,

ich suche nach Lösungsansätzen für folgende Aufgabe:

"Berechnen Sie sowohl mit Kugelkoordinaten als auch mit Zylinderkoordinaten das Integral :
$\begin{eqnarray*} \int_{B}^{} \! \int_{}^{} \int_{}^{}\, z dx dy dz \end{eqnarray*}$
Wobei B:={(x,y,z) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R^3 x^2+y^2+(z-1)^2 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1, x^2+y^2 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ z^2} ist."

Ich weiß was Kugel- oder Zylinderkoordinaten sind, und, dass man mit den unteren Zusatzinfos die Grenzen der integrale bestimmt, aber wie macht man dann weiter?

Danke im Voraus!

Meine Ideen:

19.07.2016, 13:49

klarsoweit

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RE: Integral mit Kugel- und Zylinderkoordinaten
Verstehe jetzt die Frage nicht. Man setzt beispielsweise die Zylinderkoordinaten ein und integriert.

19.07.2016, 14:24

SoundlessPain

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RE: Integral mit Kugel- und Zylinderkoordinaten
Das habe ich versucht, aber irgendwie steht in der Lösung was von 2pi, deshalb frage ich mich, was ich da noch machen muss.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2pi} \! \int_{0}^{1} \int_{1-(1-r^2)^(1/2)}^{r}\, z * r dz ry dphi \end{eqnarray*}$
Dann integriere ich nach dz und komme doch eigentlich für dieses Integral auf:
1/2*z^2*r, anschließend kann ich die Grenzen einsetzen, aber in unserer Lösung steht:

2pi* $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}(r/2)* z^2 (Grenzen von dz) dr \end{eqnarray*}$

Wieso kann ich die 2pi der äußeren Grenzen so nach außen ziehen?
Wurde da einfach das äußere Integral zuerst gelöst?

19.07.2016, 14:54

klarsoweit

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RE: Integral mit Kugel- und Zylinderkoordinaten

Zitat:

Original von SoundlessPain
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2pi} \! \int_{0}^{1} \int_{1-(1-r^2)^(1/2)}^{r}\, z * r dz ry dphi \end{eqnarray*}$

Ich hätte hier jetzt eher dieses Integral erwartet: $\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! \int_z^1 \int_0^1 \, z * r dz dr d\phi \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von SoundlessPain
Wieso kann ich die 2pi der äußeren Grenzen so nach außen ziehen?
Wurde da einfach das äußere Integral zuerst gelöst?

Wenn man so will, ja. Da in dem Integranden kein Winkel phi vorkommt, führt das beim Integrieren zu dem Faktor 2pi . smile

19.07.2016, 19:47

SoundlessPain

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RE: Integral mit Kugel- und Zylinderkoordinaten
Okay, das mit dem 2pi verstehe ich dann, dankeschön!

Aber wie komme ich auf die anderen Grenzen?

20.07.2016, 08:34

klarsoweit

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RE: Integral mit Kugel- und Zylinderkoordinaten
Aus der ersten Ungleichung $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+(z-1)^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$ lesen wir als erstes, daß es sich um eine Kugel mit Radius 1 um den Punkt (0, 0, 1) handelt. Das impliziert als erstes, daß 0 <= z <= 2 ist, und als zweites, daß $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+ y^2} \end{eqnarray*}$ = Abstand r von der z-Achse maximal 1 beträgt. Aus der zweiten Ungleichung $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 \geq z^2 \end{eqnarray*}$ folgt r >= z und z <= 1 und damit sind dann die Integrationsgrenzen geklärt.

20.07.2016, 09:49

SoundlessPain

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RE: Integral mit Kugel- und Zylinderkoordinaten
Alles klar, super!

Wie sieht das dann mit Kugelkoordinaten aus?
Da ist z ja gleich r*cos(theta), setze ich das dann als Funktion ein?
Die Integrationsgrenzen ändern sich prinzipiell auch nicht, sondern werden "umgewandelt", oder?

20.07.2016, 10:55

klarsoweit

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RE: Integral mit Kugel- und Zylinderkoordinaten
Nun ja, du hast schon andere Integrationsgrenzen, denn statt z hast du nun einen Polarwinkel theta und r ist nicht mehr der Abstand zur z-Achse, sondern zum Ursprung.

Möglicherweise bietet sich vorher noch an, den Kugelmittelpunkt auf den Ursprung zu verschieben. Ob man aber dann bei Kugelkoordinaten zu gescheiten Integrationsgrenzen kommt, kann ich im Moment nicht abschätzen. verwirrt

20.07.2016, 11:13

SoundlessPain

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RE: Integral mit Kugel- und Zylinderkoordinaten
Okay, danke. Das hat mir alles wirklich sehr geholfen! smile

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