Vektor - S-Multiplikation, Vielfaches

28.08.2004, 16:31

The_Lion

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Vektor - S-Multiplikation, Vielfaches

Hallo.
Es geht darum, herauszufinden, ob ein Vektor ein vielfaches vom anderen ist und dabei bin ich auch auf ein Problem gestoßen, das liegt aber an Wurzeltermen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ \sqrt{3} \\ -3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \sqrt{8} \\ \sqrt{6} \\ -\sqrt{18} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hierbei geht es darum rauszufinden, ob der eine Vektor ein Vielfaches vom anderen ist.

1.) Gibt es dafür eine spezielle/einfache Methode?
Ich mache es, indem ich die enstsprechenden Koordinaten im Bruchdarstelle und versuche, alle Koordinaten (x_1, x_2, x_3) auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, um zu sehen, ob sie identisch sind.

Hier in der Aufagabe habe ich raus für die x_1 Koordinaten:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{8}}{2}= \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{4}}= \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

bei den x__2 Koordinaten:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}= \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

bei den x_3 Koordinaten:
$\begin{eqnarray*} \frac{-\sqrt{18}}{-3}=\frac{-\sqrt{18}}{\sqrt{9}}=-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Wenn man sich die beiden vektoren ganz oben aber anschaut, dann sieht man, dass der Faktor r nicht negativ werden darf. Bei den x_3 Koordinaten wird er das aber. (Ich hoffe Ihr versteht was ich meine.)

Liegt mein fehler beim Umformen des Nenners (bei x_3 Koord.) von -3 zu
$\begin{eqnarray*} \sqrt{9} \end{eqnarray*}$ ?
Muss das $\begin{eqnarray*} -\sqrt{9} \end{eqnarray*}$ heißen ?

Danke.

28.08.2004, 16:39

mYthos

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Es muss natürlich

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{9} \end{eqnarray*}$

heissen, also ist ein Vektor das $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ - fache des anderen. Besser ist, du berücksichtigst bei der Division sofort, dass 'Minus' durch 'Minus' gleich 'Plus' ist.

Gr
mYthos

28.08.2004, 16:40

Mazze

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{9} \end{eqnarray*}$ ist niemals -3!

aber

$\begin{eqnarray*} \frac{-\sqrt{18}}{-3} = \frac{\sqrt{18}}{3} \end{eqnarray*}$

Wenn ich herausfinden will ob ein vektor ein vielfaches eines anderen ist mach ichs so, ich nehm mir die ersten Komponenten und setze

$\begin{eqnarray*} 2*x = \sqrt{8} \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} x = \frac{\sqrt{8}}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt schau ich einfach nach ob

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3} * \frac{\sqrt{8}}{2} = \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

und ob

$\begin{eqnarray*} -3 * \frac{\sqrt{8}}{2} = - \sqrt{18} \end{eqnarray*}$

28.08.2004, 16:47

mYthos

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Zitat:

Original von Mazze
$\begin{eqnarray*} \sqrt{9} \end{eqnarray*}$ ist niemals -3!
........

Da muss ich doch etwas widersprechen, denn die Quadratwurzel hat a priori 2 Vorzeichen!

(+3)² = 9
(-3)² = 9

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9} = \pm 3 \end{eqnarray*}$

Also Vorsicht mit 'niemals'!
Sag' nie niemals Augenzwinkern

Augenzwinkern

P.S.: Allerdings stimmt es, dass, wenn die Quadratwurzel - wie die Wurzel allgemein - nur in R+ definiert ist, es tatsächlich nur eine positive Wurzel geben kann.

Gr
mYthos

28.08.2004, 16:50

The_Lion

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Zitat:

Original von Mazze
$\begin{eqnarray*} \sqrt{9} \end{eqnarray*}$ ist niemals -3!

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9}= 3 oder \sqrt{9}= -3 \end{eqnarray*}$

Wieso sagst Du, dass es niemals -3 ist ?
-3 * -3 = 9
und
3 * 3 = 9

28.08.2004, 17:12

Mazze

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Die Wurzel ist definiert als die jenige positive Zahl a so das a*a = b! Die Definition fordert das das Wurzelergebnis positiv ist!

Sonst wäre

$\begin{eqnarray*} 3 = \sqrt{9} = -3 \end{eqnarray*}$

Widerspruch!

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28.08.2004, 17:18

MisterSeaman

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http://www.matheboard.de/lexikon/Formels...ion.htm#Wurzeln

Laut der Definition, die dann hier wohl im Board verwendet werden soll, ist die Wurzel "mehrdeutig". Damit gilt der obige Widerspruch natürlich nicht, da die Wurzelabbildung jetzt eine mengenwertige Funktion ist.

Gruß

MisterSeaman

28.08.2004, 17:25

Mazze

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Hier steht nochmal das dass Ergebnis immer positiv sein muss.

Was meinst Du mit mengenwertiger Funktion? Die Wurzel soll also auf die menge {a,-a} abbilden?

28.08.2004, 17:25

BraiNFrosT

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... womit wir wieder bei dieser leidigen Diskussion sind.

28.08.2004, 17:40

MisterSeaman

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Mengenwertige Funktionen sind Funktionen, die als Ergebnis keine Zahlen, sondern Mengen liefern;

z.B. ist die Menge der reellen Zahlen x, für die x^2=9 gilt, ob man sie jetzt als Wurzeln bezeichnet oder nicht

{-3,3}.
Diese Menge würde nach der von mir verlinkten Definition von der Wurzelabbildung für 9 geliefert werden.

//edit: Das hattest Du ja auch vermutet, hab ich überlesen, sorry. :P

Jetzt haben wir beide widersprüchliche Definitionen gefunden - es wäre sicherlich sinnvoll, wenn man das ">0" bei dem von mir angegebenen Link für reelle Zahlen noch ergänzen würde, um solche Haarspaltereien ein für allemal zu vermeiden. Ich mag die nämlich auch nicht besonders! :P

Gruß

MisterSeaman :P

02.09.2004, 01:31

The_Lion

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Hallo.
Ich möchte nicht extra ein neues Thema eröffnen, also schreibe ich es hier rein, da es auch die S-Multiplikation angeht.
Meine Frage ist die, ob man in einer Gleichung mit Vektoren einfach den Skalar wegkürzen darf, also z.B. so:

$\begin{eqnarray*} c\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} <=> \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{c}\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Man teilt auf der linken Seite also durch den Skalar "c".
Oder darf man soetwas nur dann, wenn man das ganze in einem linearen Gleichungssystem dargestellt hat?

Ich denke, das kann man, ist vielleicht ne leichte Frage, aber sicher ist sicher Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke.

02.09.2004, 01:39

MisterSeaman

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Hallo.

Ja, das darf man. Ob Du es jetzt als lineares Gleichungssystem darstellst oder nicht ist ja nur ein Unterschied im "Aufschreiben".

Gruß

MisterSeaman

02.09.2004, 13:43

The_Lion

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Da hätte ich noch etwas zur S-Multiplikation. In dem Buch, aus dem ich lerne, steht, dass es dort kein Kommutativgesetz gibt:
$\begin{eqnarray*} r\vec{a} \neq \vec{a}r \end{eqnarray*}$

es heißt, $\begin{eqnarray*} \vec{a}r \end{eqnarray*}$ sei nicht definiert, sondern nur $\begin{eqnarray*} r\vec{a} \end{eqnarray*}$
Wieso ist das so?

Das Inversitätsgesetz wird hier auch nicht besprochen. Liegt das daran, weil es eine Verknüpfung aus 2 verschiedenartigen "Elementen", also dem Skalar und dem Vektor, ist? (Vielleicht kommt es ja erst später dran ?)

Danke.

02.09.2004, 13:48

Mazze

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Wenn Du die Skalarmultiplikation als folgende Abbildung definierst

$\begin{eqnarray*} R ** R^3 \to R^3 \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} r*\vec{a} \end{eqnarray*}$ natürlich definiert aber $\begin{eqnarray*} \vec{a}*r \end{eqnarray*}$
wäre dann eine Abbildung vom Typ

$\begin{eqnarray*} R^3 ** R \to R^3 \end{eqnarray*}$

so würde ich mir erklären warum ar nicht definiert ist.

Was meinst Du denn mit Inversität bezüglich des S-Produktes?

02.09.2004, 14:24

The_Lion

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Da ich noch nicht beim Skalarprodukt angekommen bin, kann ich das nicht nachvollziehen, aber vielleicht wird der Grund dafür, dass $\begin{eqnarray*} \vec{a}r \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist, ja dann ja auch wieder aufgegriffen.

Das inverse Element einer Zahl bei der Multiplikation (für Zahlen) ist ja der Kehrwert dieser Zahl: also 2* 1/2 = 1
In den Seiten über die S-Multiplikation wird nicht auf Inversitätsgesetz eingegangen, daher wollte ich nur wissen, wieso das so ist.
Ich glaube die Frage ist überflüssig, denn nach ausmultiplizieren mit "r" ergibt sich ja der "neue" Vektor, dann sucht man einfach für diesen das inverse Element, und dieser ist - $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ .
Außerdem ist das eine Verknüpfung von 2 verschiedenen Dingen, von einer Zahl und einem vektor, daran wirds wohl liegen.
Vielleicht verstehst Du mich grade nicht, aber vergessen wir das.

PS: Mir wurde gerade verwehrt, eine Antwort zu schreiben, danach bin ich zurückgegangen, habs nochmal versucht, dann gings. Ist das ein Softwarefehler?

02.09.2004, 14:34

Mazze

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S-Multiplikation = Skalarmultiplikation != Skalarprodukt

Denn ein Skalar ist nichts weiter als eine reelle Zahl weswegen die S-Multiplikation Skalarmultiplikation oder schöner, Multiplikation mit einem Skalar heißt.

Was ein inverses Element ist ist mir durchaus klar, aber die S-multiplikation ist eine zweistellige operation. Wonach soll denn invertiert werden?

$\begin{eqnarray*} r*\vec{a} * (r*\vec{a})^{-1} = was??? \end{eqnarray*}$

Ergibt es überhaupt Sinn die Skalarmultiplikation zu invertieren? Man müsste dazu erstmal ein Einheits-Element (ähnlich 1,0 etc.) für die
S-Multiplikation definieren damit man überhaupt Inversität zur
S-Multiplikation herstellen kann.

02.09.2004, 15:00

The_Lion

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Zitat:

Was ein inverses Element ist ist mir durchaus klar, aber die S-multiplikation ist eine zweistellige operation. Wonach soll denn invertiert werden?

$\begin{eqnarray*} r*\vec{a}*(r*\vec{a})^{-1}=20was??? \end{eqnarray*}$

Ergibt es überhaupt Sinn die Skalarmultiplikation zu invertieren?

Genau daran hatte ich auch gedacht.
Dass S-Multiplikation die Multiplikation mit einem Skalar ist, weiß ich, nur das mit diesem R³ usw habe ich nocht nicht gelernt. muss ich noch machen.

Es wird außerdem gesagt, dass das Wort "Skalarprodukt" für eien andere Verknüpfung frei gehalten wird, also wohl für R*R³ usw.
das Produkt der S-Multiplikation nennt man also AUCH "Skalarprodukt" ?
Naja, ich lerne es mit der Zeit, und bisher komme ich auch gut zu Recht.

02.09.2004, 15:06

Mazze

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Nein die S-Multiplikation ist nicht das Skalarprodukt! Ich habe bewusst
!= geschrieben (das is java für ungleich ^^).

Das Skalarprodukt ist eine Abbildung

$\begin{eqnarray*} R^n**R^n \to R \end{eqnarray*}$

Also zwei Vektoren werden so multipliziert das eine reelle zahl herauskommt.

Für Dich reicht wohl vorerst zu wissen das

R² die Ebene meint, also Vektoren mit x,y-Koordinaten

und

R³ den raum beschreibt also Vektoren mit x,y,z-koordinaten

02.09.2004, 15:22

The_Lion

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ok , ist denn $\begin{eqnarray*} V_1 = R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_2 = R^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_3=R^3 \end{eqnarray*}$ usw ?

V bedeutet ja Vektormenge, R ist der Vektorraum . Sind das dieselben Dinge ?

02.09.2004, 15:25

Mazze

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Ein Vektorraum ist eine Menge auf der gewisse Axiome definiert sind die erfüllt sein müssen. Ich kann mir durchaus vorstellen das die beiden begriffe gleich sind, wäre mir da aber nicht sicher.

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