Wurzelziehen mit komplexer Zahl

19.07.2016, 18:21

allahahbarpingok

Wurzelziehen mit komplexer Zahl

Hallo,

ich komme gerade bei dieser Aufgabe nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} e^{\sqrt[3]{i}} \end{eqnarray*}$

Habe mal folgende Umformung vorgenommen:

$\begin{eqnarray*} e^{\sqrt[6]{-1}} \end{eqnarray*}$

So wirklich weiter komme ich nicht. Die Zahl liegt weder in der Eulerschen Form noch in der Polarform vor. Mich stört die Wurzel im Exponenten.

19.07.2016, 18:44

Mathema

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Zitat:

ich komme gerade bei dieser Aufgabe nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} e^{\sqrt[3]{i}} \end{eqnarray*}$

Das ist keine Aufgabe?!

19.07.2016, 19:08

allahahbarpingok

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Im Buch steht original:

Berechne sämtliche Werte von $\begin{eqnarray*} e^{\sqrt[3]{i}} \end{eqnarray*}$

edit: Womöglich ist der Geck hier gerade, dass eigentlich nichts zu rechnen ist?

20.07.2016, 08:57

klarsoweit

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Hm. Immerhin gibt es 3 verschiedene komplexe Zahlen z_0, z_1 und z_2 mit $\begin{eqnarray*} (z_j)^3 = i \end{eqnarray*}$ , j=0, 1, 2. smile

20.07.2016, 09:08

Leopold

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Weißt du, was ein Geck ist? Nach dem Duden ist das eine männliche Person, die als eitel und sich übertrieben modisch kleidend angesehen wird. Aber vermutlich meintest du einen Gag ...

Jetzt zur Aufgabe. Vermutlich sollst du $\begin{align*} \operatorname{e}^{\sqrt[3]{\operatorname{i}}} \end{align*}$ in der kartesischen oder trigonometrischen Form angeben. Das zweite wäre

$\begin{align*} \operatorname{e}^{\sqrt[3]{\operatorname{i}}} = r \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \ \ \text{mit} \ \ r>0 \, , \ t \in [0,2 \pi) \end{align*}$

Beachte, daß $\begin{align*} \sqrt[3]{\operatorname{i}} \end{align*}$ nicht eindeutig, sondern "drei"deutig ist. Eine der drei Lösungen wäre

$\begin{align*} \operatorname{e}^{\sqrt[3]{\operatorname{i}}} = \operatorname{e}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \operatorname{e}^{\frac{1}{2} \operatorname{i}} \end{align*}$

Jetzt überlege erst einmal selber, wie man auf diesen Wert und die beiden anderen Werte kommt.

20.07.2016, 14:59

allahahbarpingok

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Danke für den Denkanstoß, hat wohl geklappt! Letzendlich setze ich den Exponenten $\begin{eqnarray*} w = \sqrt[3]{i} \end{eqnarray*}$ und suche nun die 3 Lösungen (Wurzelziehen im Komplexen).

Diese sind:
$\begin{eqnarray*} w_0 = e^{\frac{\pi}{6}\cdot i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_1 = e^{\frac{5\cdot\pi}{6}\cdot i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2 = e^{\frac{9\cdot\pi}{6}\cdot i} \end{eqnarray*}$

Daraufhin kann ich $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{i} \end{eqnarray*}$ im Exponenten nun gerade durch jeweils $\begin{eqnarray*} w_0, w_1, w_2 \end{eqnarray*}$ substituieren.

Nun macht es Sinn die Zahlen $\begin{eqnarray*} w_0, w_1, w_2 \end{eqnarray*}$ jeweils in der Normalform hinzuschreiben, weil dann die Potenzgesetze ausgenutzt werden können um eine bekannte Darstellung einer komplexen Zahl zu erhalten.

$\begin{eqnarray*} w_0 = e^{\frac{\pi}{6}\cdot i} = \cos(\frac{\pi}{6}) + i \cdot \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_1 = e^{\frac{5\cdot\pi}{6}\cdot i} = \cos(\frac{5\cdot\pi}{6}) + i \cdot \sin(\frac{5\cdot\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_2 = e^{\frac{9\cdot\pi}{6}\cdot i} = \cos(\frac{3\cdot\pi}{2}) + i \cdot \sin(\frac{3\cdot\pi}{2}) = -i \end{eqnarray*}$

Ingesamt ergibt sich für die Lösung:

$\begin{eqnarray*} z_0 = e^{w_0} = e^{\frac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot \frac{1}{2}} = e^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot e^{i\cdot \frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = e^{w_1} = e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot \frac{1}{2}} = e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot e^{i\cdot \frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = e^{w_2} = e^{-i} \end{eqnarray*}$

ps: ja ich meinte natürlich Gag... smile

20.07.2016, 15:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von allahahbarpingok
$\begin{eqnarray*} w_0 = e^\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_1 = e^\frac{5\cdot\pi}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2 = e^\frac{9\cdot\pi}{6} \end{eqnarray*}$

Hier fehlt das i im Exponenten:
$\begin{eqnarray*} w_0 = e^{\frac{\pi}{6} i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_1 = e^{\frac{5\cdot\pi}{6} i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2 = e^{\frac{9\cdot\pi}{6} i} \end{eqnarray*}$
Der Fehler wiederholt sich dann. smile

20.07.2016, 15:27

allahahbarpingok

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Korrigiert smile

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