Rang unter Transformation

20.07.2016, 08:48	HansZebra	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang unter Transformation Hallo, ich möchte den Satz beweisen. Der Rang einer Matrix P, wird durch Transformation mit Matrix T nicht geändert. Ich wäre froh, wenn das mal jemand durchlesen könnte, und mir sagen könnte, ob dies so korrekt ist. Mein Beweis: $\begin{eqnarray} T \text{ ist inf.bar} \Leftrightarrow det(T) \neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T p^{(i)} = 0 \Leftrightarrow p^{(i)} = 0 \ \ \ \ \ \ \text{mit } p^{(i)} \text{ =Spaltenvektor i von P} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \neg T p^{(i)} = 0 \Leftrightarrow \neg p^{(i)} = 0 \ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T p^{(i)} \neq 0 \Leftrightarrow p^{(i)} \neq 0 \ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall i \in \{1... m \} \ \ \ \ \ \ \text{mit } m \text{ = Anzahl Spalten von P} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} rang(TP) = rang(P) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Box \end{eqnarray}$ In Worten: Eine "Nullspalte" in P wird eine "Nullspalte" in TP. Eine "Nicht-Nullspalte" in P kann keine "Nullspalte" in TP sein. Daraus folgt der Satz. Ist dies so richtig? Vielen Dank fürs Lesen und Antworten. HansZebra
20.07.2016, 15:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix $\begin{eqnarray} P=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ enthält keine Nullspalte, ist aber nicht invertierbar, sie hat den Rang 1. Mir scheint, deine Argumentation ist nicht schlüssig. Übrigens hat $\begin{eqnarray} TP=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ebenfalls den Rang 1. Mit Nullspalten haben beide Matrizen nichts zu tun. Rangerhaltung ist offensichtlich auch nicht auf invertierbare Matrizen beschränkt.
20.07.2016, 15:52	HansZebra	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, danke für deine Antwort. Was ist mit: $\begin{eqnarray} <br /> P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 &0 &0\end{pmatrix} \\<br /> rank(P) = 2 \\<br /> T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 &0 &0\end{pmatrix} \\<br /> rank(T) = 1 \\<br /> TP = \begin{pmatrix} 9 & 12 & 15 \\ 9 & 12 & 15 \\ 0 &0 &0\end{pmatrix} \\<br /> rank(TP) = 1<br /> \end{eqnarray}$ Womit der Rang von P nicht erhalten ist. Was ich zeigen möchte ist: $\begin{eqnarray} T \text{ ist inf.bar } \rightarrow rank(P) = rank(TP) \end{eqnarray*}$ Es geht mir nicht darum zu zeigen, ob die Rangerhaltung auf invertierbare Matrizen beschränkt ist- es geht mir darum zu zeigen, dass die Rangerhaltung immer erreicht ist, wenn T invertierbar ist. Meine Argumentation sollte so gehen Für die Nullspalten, verwende ich natürlich einfach implizit den Gauss-Algorithums und verändere somit den Rang nicht. Danach gibt mir die Anzahl der "Nicht-Nullspalten" bzw. die Anzahl der "Nicht-Nullzeilen" den Rang an. Funktioniert mein Beweis so nicht? Danke nochmals fürs Antworten HansZebra
20.07.2016, 18:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, der Beweis funktioniert so nicht. Das liegt daran, dass der Rang einer Matrix P nicht gleich der Anzahl der Nullspalten (oder Nullzeilen) ist. Wenn du den Gauß-Algorithmus für den Beweis benutzen willst, kannst Du die invertierbaren Elementarmatrizen ins Spiel bringen. Sie verändern den Rang der Matrix nicht - schade nur, dass das genau die Behauptung ist. Tipp: Beachte, dass Matrizen Darstellungsmatrizen für lineare Abbildungen sind. Erinnere, dass der Rang einer Matrix gleich der Dimension des Bildraums ist. Insbesondere sind invertierbare Matrizen Darstellungsmatrizen von Isomorphismen (bijektive lineare Abbildungen). Erinnere, dass das Matrizenprodukt der Komposition linearer Abbildungen entspricht. Aus all dem lässt sich der Beweis zusammenbauen.
21.07.2016, 08:24	HansZebra	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, vielen Danke für deine weitere Antwort! Ich habe mir das ganze Nochmals überlegt, und einmal drüber geschlafen, aber ich sehe leider den Fehler in meiner Argumentation immer noch nicht. Schritt 1 Pwird in Zeilenstufenform gebracht, jetzt gilt: rank(P) = Anzahl der "Nicht-Nullspalten" bzw. Anzahl der "Nicht-Nullzeilen" Schritt 2 Wenn meine Schritte von gestern richtig waren, dann gilt: Anzahl Nullspalten von P = Anzahl Nullspalten von TP Anzahl Nicht-Nullspalten von P = Anzahl Nicht-Nullspalten von TP Schritt 3 (Schlussfolgerung) Darum muss gelten rank(P) = rank(TP) Kannst du mir bitte sagen, in welchem Schritte mich hier täusche? Danke nochmals Hans Zebra
21.07.2016, 09:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Wo steht, dass der Rang einer Matrix definiert ist durch die Anzahl der Nullspalten oder Nullzeilen nach dem Gauß-Algorithmus ? Was denn nun ? Nullspalten oder Nullzeilen oder beides ? Wie ist die Zeilenstufenform bei euch definiert ? 2. Was hat das mit det(T) ungleich 0 zu tun ? Deine logischen Äquivalenzen mögen teilweise oder auch alle richtig sein, aber in deinem gestrigen Beweis fehlt der logische Zusammenhang. Vorschlag: Wenn Du meinen Tipp nicht anwenden möchtest, dann wende Deinen "Beweis" auf ein Beispiel mit Matrizen P und T an. Dadurch müsste klar werden, warum dein Beweis so nicht funktioniert.
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