[Rechnung] Ideale und Varietäten

20.07.2016, 19:26

Shalec

[Rechnung] Ideale und Varietäten

Hallo,

ich versuche grade eine Aufgabe aus einem Skript ( Gathmann - Commutative Algebra, S.20 E.2.8 ) nachzurechnen und würde gerne wissen, ob meine Vorgehensweise ok ist:

Ich will herausfinden, ob $\begin{eqnarray*} I=(5, x^3+2x+3) \end{eqnarray*}$ prim oder maximal ist.

Dazu habe ich erstmal folgendes betrachtet: (V( . ) = Zero-Locus, I( . ) = Menge aller Polynome, die auf V( . ) 0 werden.)
$\begin{eqnarray*} I= I(V(5) \cup V(x^3+2x+3)) = I( \emptyset \cup V( (x+1)(x^2-x+3) ) ) = (x+1) \cap (x^2-x+3) \end{eqnarray*}$

Hier meine erste Frage: Ich habe "5" als konstantes Polynom interpretiert. Diese haben keine Nullstellen, also ist der Zero-Locus (deu.: Nullstellenmenge?) leer. Desweiteren kann ich Vereinigungen von Varietäten mit Schnitten von Idealen identifizieren. Sehe ich das richtig (auf diesen Fall bezogen)?

Damit sollte ich herausgefunden haben: $\begin{eqnarray*} (5,x^3+2x+3) = (x+1)\cap (x^2-x+3) \end{eqnarray*}$ . Insofern meine anfängliche Interpretation korrekt ist, habe ich nun herausgefunden, dass I nicht prim ist. Da ich so $\begin{eqnarray*} f\in (x+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g\in (x^2-x+3) \end{eqnarray*}$ wählen kann, dass $\begin{eqnarray*} fg\in I \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} f,g\notin I \end{eqnarray*}$ .

Zur Maximalität: Da das Ideal nicht prim ist, kann es auch nicht maximal sein. Denn aus maximal folgt prim.

Viele Grüße und vielen Dank für die Zeit smile

Edit:
Auf der anderen Seite könnte ich diese Ideale auch als Ideale nicht über Varietäten interpretieren. Dann ist
$\begin{eqnarray*} R:=\mathbb Z[x]/I = \mathbb Z_5[x]/(x^3+2x+3) \end{eqnarray*}$ Ideale in diesem Ring kann ich mit Idealen $\begin{eqnarray*} J\subset\mathbb Z_5[x] \end{eqnarray*}$ identifizieren, s.d. $\begin{eqnarray*} (x^3+2x+3)\subset J \end{eqnarray*}$ .

Bevor ich hier weiter mache: Scheint dieser Weg eher korrekt? Oder werde ich auf das gleiche Ergebnis kommen?

21.07.2016, 01:14

tatmas

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Hallo,

Zitat:

Ich will herausfinden, ob $\begin{eqnarray*} I=(5, x^3+2x+3) \end{eqnarray*}$ prim oder maximal ist.

Ein Ideal ist immer ein Ideal eines Rings, der gehört essentiell dazu. Wenn z.B. $\begin{eqnarray*} R= \mathbb Q(X) \end{eqnarray*}$ , dann wäre I=R.

Wenn du rausfinden willst ob ein Ideal I im Ring R prim oder maximal, bestimme ob R/I Intgritätsring oder Körper ist.

Was es dir hier bringen soll die Varietäten zu betrachten erschließt sich mir nicht.

21.07.2016, 10:52

Shalec

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Hey

die Varietäten habe ich nur betrachtet, da sich das 1. Kapitel ausschließlich damit befasst hatte. Da keine alternative Idealdefinition kam, habe ich in diese Richtung interpretiert.

D.h. ich muss tatsächlich $\begin{eqnarray*} (5,x^3+2x+3)\unlhd \mathbb Z[x] \end{eqnarray*}$ betrachten. Dann ist dieser Ansatz:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} R:=\mathbb Z[x]/I = \mathbb Z_5[x]/(x^3+2x+3) \end{eqnarray*}$ Ideale in diesem Ring kann ich mit Idealen $\begin{eqnarray*} J\subset\mathbb Z_5[x] \end{eqnarray*}$ identifizieren, s.d. $\begin{eqnarray*} (x^3+2x+3)\subset J \end{eqnarray*}$ .

an dieser Stelle korrekt. (ausgeschlossen natürlich der Betrachtung der ideale J. Dies würde Sinn machen, um zu zeigen, dass I maximal ist oder nicht.)

Ich würde bei diesem Ideal überprüfen, ob der Ring überhaupt ein Integritätsring ist. Falls dem so ist, existieren keine Nullteiler. Wegen
$\begin{eqnarray*} x^3+2x+3=(x+1)(x^2-x+3)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+1 \neq 0 \neq x^2-x+3 \end{eqnarray*}$ folgt, dass dieser Ring kein Integritätsring ist und somit auch insbesondere kein Körper.

Interessanterweise komme ich auf eine analoge Aussage, wenn ich über die Varietäten gehe. Klappt das vielleicht immer? Fällt dir auf die Schnelle ein gutes Gegenbeispiel ein?

In dem Skript ist auch eine zweite Aufgabe notiert:
$\begin{eqnarray*} J:= (4,x^2+x+1, x^2+x-1) \unlhd \mathbb Z[x] \end{eqnarray*}$ .

Hier erhalte ich: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[x]/(4,x^2+x+1, x^2+x-1) = \mathbb Z_4[x]/(x^2+x+1, x^2+x-1) \end{eqnarray*}$
Darin gilt: $\begin{eqnarray*} x^4= (x+1)^2 \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} x^2=-(x+1)(=-x+1) \end{eqnarray*}$ weiter ist: $\begin{eqnarray*} 4x=0 \end{eqnarray*}$ also ist
$\begin{eqnarray*} 2(x^4-x^2-1)=0 \end{eqnarray*}$ wobei keiner der Faktoren =0 war. Also ist auch dieses Ideal nicht prim.

Viele Grüße

21.07.2016, 12:03

tatmas

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Varietäten sind eine (relativ) anschauliche und bedeutende Anwendung kommutativer Algebra.
Etliche Fragestellungen der kommutativen Algebra sind auch geometrisch motiviert.
Das dürfte der Grund sein dafür, dass sich das Kapitel mit Varietäten beschäftigt.

Zitat:

Interessanterweise komme ich auf eine analoge Aussage, wenn ich über die Varietäten gehe. Klappt das vielleicht immer? Fällt dir auf die Schnelle ein gutes Gegenbeispiel ein?

Ja. Nein. Siehe auch den Kasten direkt über der Aufgabenstellung im Buch.

Bei der neuen Aufgabe ist das Ideal maximal. Ich hab keine Ahnung was du da rechnest.
Dein letzter Schritt allerdings ist definitv falsch. Einer der beiden Faktoren ist 0.
Du arbeitest in einem Quotientenring. Da ist Element nur weil es nicht wie 0 aussieht noch lange nicht doch =0.
Die Aufgabe ist übrigens maximal ein Zweizeiler.

21.07.2016, 13:21

Shalec

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Zunächst habe ich eine Umformung gemacht, die häufiger in einer Vorlesung vor kam:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z[x]/(4,x^2+x+1, x^2+x-1) = \mathbb Z_4[x]/(x^2+x+1, x^2+x-1) \end{eqnarray*}$

Darin gilt $\begin{eqnarray*} x^2+x+1 = x^2+x-1 = 0 \end{eqnarray*}$ insofern ich nicht falsch liege.

Also habe ich auch $\begin{eqnarray*} x^2= -(x+1)= -(x-1) \end{eqnarray*}$ damit ist dann aber auch $\begin{eqnarray*} x^4 = (x^2)^2 = (x+1)^2=(x-1)^2 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x^2+2x+1=x^2-2x+1 \end{eqnarray*}$ . Da wir als Grundring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ betrachten, ist $\begin{eqnarray*} 2=-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4=0 \end{eqnarray*}$ .

Folglich ist $\begin{eqnarray*} 2x^4-2x^2-2 = 2(x^2+2x+1) - 2x^2-2 = 2x^2 + 4x + 2 - 2x^2-2 = 0 \end{eqnarray*}$

Bleibt also zu entscheiden, ob $\begin{eqnarray*} x^4-x^2-1=0 \end{eqnarray*}$ es ist aber $\begin{eqnarray*} x^4-x^2-1 = 2x \neq 0 \end{eqnarray*}$

Das war mein Vorgehen. Damit habe ich dann $\begin{eqnarray*} 2(x^4-x^2-1)=0 \end{eqnarray*}$ erhalten.

21.07.2016, 13:35

tatmas

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Schau dir mal die 2 Polynome mit etwas Abstand an, dann sollte dir was auffallen.
Wie gesagt die Aufgabe ist maximal ein Zweizeiler.

Zitat:

es ist aber $\begin{eqnarray*} x^4-x^2-1 = 2x \neq 0 \end{eqnarray*}$

Nein, das Letzte gilt defintiv nicht.

21.07.2016, 14:45

Shalec

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Zitat:

Original von tatmas
Schau dir mal die 2 Polynome mit etwas Abstand an, dann sollte dir was auffallen.
Wie gesagt die Aufgabe ist maximal ein Zweizeiler.

Zitat:

es ist aber $\begin{eqnarray*} x^4-x^2-1 = 2x \neq 0 \end{eqnarray*}$

Nein, das Letzte gilt defintiv nicht.

addiere ich beide Polynome:
$\begin{eqnarray*} x^2+x+1 - (x^2+x-1) = 2 \overset{!}{=} 0 \end{eqnarray*}$ fällt auf: $\begin{eqnarray*} 2x=0 \end{eqnarray*}$ .
Ok. So "offensichtlich" wie $\begin{eqnarray*} 2x\neq 0 \end{eqnarray*}$ wirkte, ist es dann doch nicht.

Gut. Ich war übrigens auch verwundert. Ich war mir intuitiv sehr sicher, dass dieses Ideal maximal sein sollte, hatte jedoch (bis jetzt) keinen Widerspruch zu meiner Betrachtung gefunden.

Meine Intuition gewann ich darüber, dass die beiden erzeugenden Polynome irreduzibel über den Ring sind. Ich kann also in dem Ring die konstanten Polynome, die ein Vielfaches von 2 sind, der Restklasse von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ zuordnen. Damit bleiben noch die Restklassen 1 und 3. Wegen 2=0 kann ich 3 = 1 identifizieren. Somit sollte ich die Einheiten des Polynomrings isomorph auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ abbilden können, womit dann durch $\begin{eqnarray*} R:=\mathbb Z_4[x]/(x^2+x+1, x^2+x-1) \cong \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ folgt, dass R ein Körper ist und somit das Ideal maximal. (Oder bin ich hier wieder zu voreilig?)

22.07.2016, 00:11

tatmas

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Du hast richtig festgestellt, dass 2 in I liegt.
Also ist $\begin{eqnarray*} R/I = \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} = \{ 0\} \end{eqnarray*}$
(je nachdem ob I=(2) oder I=R )
Letzeres geht nicht da 1 nicht in I liegt.
Damit ist R/I ein Körper, I also maximal.
Spar dir das Arbeiten mit Restklassen, das macht fast immer unnötigen Mehraufwand.

Zitat:

Meine Intuition gewann ich darüber, dass die beiden erzeugenden Polynome irreduzibel über den Ring sind

x²+1 und x²+2 sind beide irreduzibel über den ganzen Zahlen.
(x²+1, x²+2) ist nicht maximal.

23.07.2016, 11:56

Shalec

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Danke

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