Quadraturformel maximaler Ordnung bestimmen

21.07.2016, 10:54	Max1414	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadraturformel maximaler Ordnung bestimmen Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Gegeben ist ein Integral $\begin{eqnarray} I = \int_{0}^{1} \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie eine Quadraturformel mit Knoten $\begin{eqnarray} c_{1} = 0, c_{2} = \frac{1}{4}, c_{3} = 1 \end{eqnarray}$ von maximaler Ordnung. Welche Ordnung besitzt diese? Ich weiß um ehrlich zu sein nicht, wie ich überhaupt feststellen kann, was die maximale Ordnung sein könnte. Ich hab' jetzt einfach aus den Formeln $\begin{eqnarray} \frac{1}{q} = \sum\limits_{k=1}^{s} b_{i} c_{i}^{q-1} \end{eqnarray}$ mir ein lineares Gleichungssystem zusammengebaut. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0^0 & \frac{1}{4}^0 & 1^0 \\ 0^1 & \frac{1}{4}^1 & 1^1 \\ 0^2 & \frac{1}{4}^2 & 1^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \frac{1}{4} & 1 \\ 0 & \frac{1}{16} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ unter der Annahme $\begin{eqnarray} x^0 = 1 \end{eqnarray}$ . Die Matrix ist nun 3 Zeilen lang, da 3 Knoten gegeben sind und in den Vorlesungsfolien steht, "Sind Knoten $\begin{eqnarray} c_1 < ... < c_s \end{eqnarray}$ gegeben, und wir verlangen mindestens Ordnung s $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Gewichte $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray}$ eindeutig bestimmt!. Ich denke aber das dies falsch von mir ist, da wir ja nicht mindestens Ordnung s fordern, sondern maximale Ordnung. Nach dem ich dieses gelöst habe, habe ich nun $\begin{eqnarray} b_1 = -\frac{3}{18}, b_2 = \frac{16}{18}, b_3 = \frac{5}{18} \end{eqnarray}$ . Damit könnte ich nun eine Quadraturformel nach der Simsonregel wie folgt formulieren: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{s} b_i(f(c_i)) \end{eqnarray}$ wobei s nun wahrscheinlich drei wäre. Hab' auch nachgerechnet, und die Formel $\begin{eqnarray} \frac{1}{q} = \sum\limits_{k=1}^{s} b_{i} c_{i}^{q-1} \end{eqnarray}$ gilt auch für q = 1, q = 2, q = 3 aber gerade nicht für q = 4. Ist diese Quadraturformel nun von maximaler Ordnung (was ich nicht glaube), und wie kann man sowas generell zeigen? Vielen Dank für jegliche Hilfe!
21.07.2016, 14:09	Max1414	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadraturformel maximaler Ordnung bestimmen Ich hab' jetzt nochmal ein bisschen rumgesucht, und mir gedacht, dass ich vielleicht was mit der Gauß-Quadratur machen müsste, da mir dass eine Quadraturformel der Ordnung 2s geben würde. Laut Vorlesungsskript heißt es aber "Sind die Knoten c1 < . . . < cs erst einmal gewählt, so sind die Gewichte einer Quadraturformel mit Ordnung p >= s und somit die Formel insgesamt bereits festgelegt. Eine Frage, die sich nun stellt, ist, wie die Knoten gewählt werden sollten, um die Ordnung p >= s zu maximieren." Die Aufgabe will ja nicht, dass ich Knoten wähle, sondern gibt sie vor. Heißt das also, dass die Quadraturformel die ich bestimmt habe also maximaler Ordnung sein muss, da sie bereits durch die gewählten Knoten festgelegt wurde? Im Skript wurden mit der Gauß-Quadratur auch immer Knoten bestimmt, also denke ich nicht, dass es das sein kann.

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