1001 ist im Zahlensystem von b>=2 keine Primzahl (Beweis)

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Nanshaid Auf diesen Beitrag antworten »
1001 ist im Zahlensystem von b>=2 keine Primzahl (Beweis)
Meine Frage:
Ich stecke gerade schon wieder (/immer noch) mitten in den Klausurvorbereitungen und wollte zu diesem Zweck wirklich einmal alle Übungsaufgaben rechnen, die wir in Mathe bekommen haben.
Nun komme ich bei der folgenden Aufgabe allerdings nicht weiter:

Zeigen Sie, dass 1001 im Stellenwertsystem von b für keine natürliche Zahl mit b  2 eine Primzahl ist.



Meine Ideen:
Zunächst einmal habe ich die Zahl entsprechend umgeschrieben.

1001(b) =

Das habe ich dann entsprechend zusammengefasst:



Für alle ungeraden b ist der Fall damit klar. Dadurch, dass 1 addiert wird, kommt bei einer ungeraden Potenz am Ende immer eine gerade Zahl heraus, die sich durch 2 teilen lässt und somit keine Primzahl sein kann.


Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich nun beweisen kann, dass dies auch für alle geraden b gilt. Kann gut sein, dass ich da etwas auf dem Schlauch stehe, aber ich komme hier gerade leider nicht weiter.

Vielen Dank schon einmal!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist kein irreduzibles Polynom. Finde einen linearen Teiler.
Nanshaid Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis

Danke ersteinmal für deine schnelle Antwort. Leider kann ich mit der ersten Hälfte deines Satzes (irreduzibel?) nichts anfangen.

Die google-Definition hilft mir in meinem aktuellen Kontext leider auch nicht wirklich weiter.
Könntest du vielleicht erklären, was genau du damit meinst?

Ich hatte auch schon einmal überlegt, ob ich irgendwie mit der Primfaktorzerlegung oder Ähnlichem arbeiten könnte. Aber das erscheint mir eigentlich als nicht möglich, da ich ja b als Variable habe und somit das Endergebnis immer wieder neu berechnen muss, statt eine allgemeingültige Aussage zu verfassen.


Ich will die Aufgabe gerne selber lösen (sprich ich will garnicht, dass mir hier jemand die Lösung genau vorbetet), aber einige konkrete Hinweise, oder vielleicht auch ein Beispiel würden mir sehr weiterhelfen!

Liebe Grüße
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dividiere x³+1 durch x+1, dann fällt es Dir wie Schuppen von den Augen.
Nanshaid Auf diesen Beitrag antworten »

Ach du heilige Algebra geschockt

Ja es fällt tatsächlich, aber eher wie Betonblöcke auf meine Füße.
Da habe ich wohl die Lösung vor lauter Nachdenken nicht mehr gesehen.

Vielen vielen lieben Dank für deine Hilfe Elvis!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Reduzibilität gilt allgemein für alle . Wäre wohl durchaus sinnvoll, sich das zu merken.
 
 
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