Cauchy-Hauptwert mittels Hakenintegral |
22.07.2016, 14:00 | Flonik | Auf diesen Beitrag antworten » |
Cauchy-Hauptwert mittels Hakenintegral Guten Tag, ich habe folgende Aufgabe bei der ich größere Probleme habe: Man berechne mittels Hakenintegral den Cauchy-Hauptwert von Meine Ideen: Wenn ich mein Skript richtig verstehe gilt der Cauchy-Hauptwert nur für Funktionen im Komplexen, die genau EINE Singularität auf der reellen Achse haben. Die vorliegende Funktion besitzt allerdings Singularitäten bei z0 = 1, z1 = -1, z2 = i und z3 = -1. Dadurch besitzt sie mit z0 und z1 also schon 2 Singularitäten auf der reellen Achse. Kann ich dann trotzdem ein Hakenintegral bilden, welches beide Singularitäten umgeht? Oder muss/kann ich die Funktionsgrenzen verändern(und das Integral aufteilen)? Viele Grüße Florian |
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22.07.2016, 18:38 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Man integriert über die Strecke von bis und umgeht dabei die Singularitäten -1 und 1 auf kleinen negativ orientierten Halbkreisen vom Radius . Der Weg schließt sich, wenn man auf einem positiv orientierten Halbkreis um 0 von nach zurückkehrt (siehe Zeichnung). Man darf etwa und annehmen. [attach]42326[/attach] Der so beschriebene Weg enthält in seinem Innern als einzige Singularität von . Ist das Residuum von bei , so gilt folglich: Jetzt kann man zeigen: Die ersten beiden Beziehungen zeigt man, indem man standardmäßig parametrisiert und unter dem Integral den Grenzübergang vornimmt. Die dritte Beziehung erhält man in bekannter Weise durch Abschätzung des Integranden und . Die Integrale über streben für und in der Summe gegen das reelle Integral , und zwar, was die Singularitäten -1 und 1 betrifft, im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes. |
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24.07.2016, 17:47 | Flonik | Auf diesen Beitrag antworten » |
Guten Abend Leopold, Danke für die hervorragende Antwort! Du hast alle meine Fragen beantwortet Noch einen schönen Restsonntag wünsche ich! Das Thema kann hiermit geschlossen werden. |
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