Cauchy-Hauptwert mittels Hakenintegral

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Flonik Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Hauptwert mittels Hakenintegral
Meine Frage:
Guten Tag,

ich habe folgende Aufgabe bei der ich größere Probleme habe:
Man berechne mittels Hakenintegral den Cauchy-Hauptwert von




Meine Ideen:
Wenn ich mein Skript richtig verstehe gilt der Cauchy-Hauptwert nur für Funktionen im Komplexen, die genau EINE Singularität auf der reellen Achse haben.
Die vorliegende Funktion besitzt allerdings Singularitäten bei z0 = 1, z1 = -1, z2 = i und z3 = -1. Dadurch besitzt sie mit z0 und z1 also schon 2 Singularitäten auf der reellen Achse.
Kann ich dann trotzdem ein Hakenintegral bilden, welches beide Singularitäten umgeht? Oder muss/kann ich die Funktionsgrenzen verändern(und das Integral aufteilen)?

Viele Grüße Florian
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man integriert über die Strecke von bis und umgeht dabei die Singularitäten -1 und 1 auf kleinen negativ orientierten Halbkreisen vom Radius . Der Weg schließt sich, wenn man auf einem positiv orientierten Halbkreis um 0 von nach zurückkehrt (siehe Zeichnung). Man darf etwa und annehmen.

[attach]42326[/attach]

Der so beschriebene Weg enthält in seinem Innern als einzige Singularität von .
Ist das Residuum von bei , so gilt folglich:



Jetzt kann man zeigen:







Die ersten beiden Beziehungen zeigt man, indem man standardmäßig parametrisiert und unter dem Integral den Grenzübergang vornimmt. Die dritte Beziehung erhält man in bekannter Weise durch Abschätzung des Integranden und .

Die Integrale über streben für und in der Summe gegen das reelle Integral , und zwar, was die Singularitäten -1 und 1 betrifft, im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes.
Flonik Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend Leopold,

Danke für die hervorragende Antwort!
Du hast alle meine Fragen beantwortet smile
Noch einen schönen Restsonntag wünsche ich!
Das Thema kann hiermit geschlossen werden.
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