Frage zu Gleichmäßiger Konvergenz

22.07.2016, 18:02

inalotte

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Frage zu Gleichmäßiger Konvergenz

Hi,

ich habe gerade folgende Matheaufgabe:

Ich soll die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f(x)=(1-x^n)^2 \end{eqnarray*}$ die auf [0,1] definiert ist auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen. Ich wollte einmal fragen ob meine Lösung korrekt ist.

Punktweise Konvergenz:
Die Funktion konvergiert punktweise gegen f(x)=0 (für x=1) oder 1(für x ungleich 1)

Gleichmäßige Konvergenz:
Ich denke, die Funktion ist gleichmäßig konvergent , bin mir aber nicht sicher.
Ich habe hier 2 Fälle unterschieden, einmal x=1 und einmal x!=1 und dann in die Definition mit epsilon eingesetzt ( $\begin{eqnarray*} |f_{n}(x)-f(x)|<epsilon \end{eqnarray*}$ . Beide Male findet sich ein Index N ab welchem der Betrag kleiner epsilon wird, aber ich sehe irgendwie gerade nicht den Unterschied zu punktweiser Konvergenz... Bei Wikipedia steht "die Wahl von N hängt bei gleichmäßiger Konvergenz nur von epsilon ab", auch das verstehe ich leider überhaupt nicht. Kann mich vielleicht jemand aufklären?

22.07.2016, 18:24

Iorek

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Bevor du dir die Mühe mit Epsilon machst: hattet ihr schon Aussagen zu gleichmäßigen Funktionenfolgen und Stetigkeit? Damit wärest du in einer Zeile fertig. smile

smile

Edit: Mach du ruhig weiter, Guppi. Dein Beitrag liefert mehr als meiner!

22.07.2016, 18:25

Guppi12

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Hallo inalotte,

bei punktweiser Konvergenz nimmst du dir erst irgendein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus dem Definitionsbereich vor und schaust dann, ob es zu $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ . Bei gleichmäßiger Konvergenz muss das für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ uniform gelten, das heißt du kannst dir nicht zuerst $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aussuchen und dann alles überprüfen, sondern du musst zeigen, dass es zu vorgegebenem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ so ein $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gibt, das dann für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gleichzeitig die Eigenschaft von oben hat. Dein "beide male findet sich ein Index N" zeigt dir also schon, dass du falsch vorgegangen bist. Du darfst keine verschiedene N für diese Fälle finden. Nur ein festes N, das nicht von x abhängen darf, nur von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Es gibt hier übrigens auch einen Satz, der dir sofort sagen würde, dass keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Allerdings solltest du diesen evt. erst mal nicht benutzen, bevor du den Unterschied richtig verstanden hast. Ich denke, du solltest erstmal von Hand nachrechnen, ob die Funktionenfolge glm. konvergiert, weil dir die Anwendung des Satzes für dein Verständnis nichts bringen würde.

22.07.2016, 21:54

inalotte

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Hi,

habe ich die Grenzwertfunktion denn richtig rausbekommen?
Ich verstehe das irgendwie nicht so ganz..angenommen ich habe die richtige Grenzwertfunktion raus, dann ändert sich ja die Funktionsvorschrift abhängig von x (in diesem Fall 0 für x=1, 1 für x!=1), also wäre die Folge nicht konvergent? Und zu punktweiser Konvergenz: Wenn ich EIN x gefunden habe, für die die Folge konvergiert, ist sie dann schon punktweise konvergent?
Liebe Grüße smile

smile

22.07.2016, 21:57

Guppi12

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Ja, die punktweise Grenzfunktion hast du richtig herausbekommen.

Zitat:

angenommen ich habe die richtige Grenzwertfunktion raus, dann ändert sich ja die Funktionsvorschrift abhängig von x (in diesem Fall 0 für x=1, 1 für x!=1), also wäre die Folge nicht konvergent?

Das verstehe ich nicht. Wie genau folgerst du die Nichtkonvergenz?

Zitat:

Und zu punktweiser Konvergenz: Wenn ich EIN x gefunden habe, für die die Folge konvergiert, ist sie dann schon punktweise konvergent?

Nein, das ist falsch. Die Folge muss schon in allen Punkten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergieren.

22.07.2016, 22:00

inalotte

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Zitat:

Original von Guppi12

Zitat:

Und zu punktweiser Konvergenz: Wenn ich EIN x gefunden habe, für die die Folge konvergiert, ist sie dann schon punktweise konvergent?

Nein, das ist falsch. Die Folge muss schon in allen Punkten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergieren.

Hey super danke für die Antwort.
Dass die Folge in allen Punkten x konvergiert ist doch die von dir genannte Vorraussetzung für gleichmäßige Konvergenz, oder bringe ich jetzt etwas durcheinander?

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22.07.2016, 22:09

inalotte

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Neuer Versuch für gleichmäßige Konvergenz

Fall 1, x=1

$\begin{eqnarray*} |(1-x^n)^2|<\epsilon \end{eqnarray*}$ -->bekomme ich nicht kleiner epsilon, da die 1 auch bei steigenden N immer stehenbleibt, korrekt? Habe ich wohl eben übersehen..daraus folgt dann, dass f nicht gleichmäßig konvergiert, aber so ganz verstehe ich den Unterschied trotzdem nicht unglücklich

unglücklich

22.07.2016, 22:22

Guppi12

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Nein, das ist nicht richtig. Wenn du in $\begin{eqnarray*} |(1-x^n)^2| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Eins einsetzt, steht da doch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Ich bin gerade etwas ratlos, wie ich dir das noch anders erklären könnte. Weitere Erklärungen von anderen sind natürlich willkommen.

Vielleicht mal an einem anderen Beispiel:

Betrachte die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n:[0,\infty)\to\mathbb R, f_n(x) = 1 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x\leq n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_n(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x>n \end{eqnarray*}$ .

Kannst du dir diese Funktionenfolge vorstellen? Bis zum Punkt x=n haben wir die konstante Einsfunktion, dahinter die Nullfunktion. Diese konvergiert punktweise gegen die Einsfunktion $\begin{eqnarray*} f:[0,\infty)\to\mathbb R, f(x) = 1 \end{eqnarray*}$ , denn wenn ich mir irgendein festes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hernehme, muss ich ja nur warten, bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ so groß ist, dass $\begin{eqnarray*} x\leq n \end{eqnarray*}$ gilt und wir haben für solche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| = |1-1| = 0 \end{eqnarray*}$ . Gleichmäßig konvergiert diese Funktionenfolge aber nicht, denn dafür müsste der Abstand von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf dem gesamten Definitionbereich gleichmäßig kleiner werden. Dass dies nicht der Fall ist, sieht man schnell, denn egal welches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ich mir vornehme, für $\begin{eqnarray*} x=n+1 \end{eqnarray*}$ gilt immer $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| = |0-1| = 1 \end{eqnarray*}$ , also gibt es immer Punkte, wo der Abstand groß bleibt. Genau das soll bei glm. Konvergenz nicht passieren, verstehst du?

Edit: Habe jetzt erst gesehen, dass da noch ein Beitrag mehr davor war. Hier meine Antwort

Zitat:

Dass die Folge in allen Punkten x konvergiert ist doch die von dir genannte Vorraussetzung für gleichmäßige Konvergenz, oder bringe ich jetzt etwas durcheinander?

Nein! Es macht doch einen Unterschied, ob man fordert, dass für jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einzeln betrachtet der Abstand irgendwann mal klein wird, wobei das stark von dem speziellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängen darf, wie schnell das gehen darf ODER ob ich fordere, dass der Abstand für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gleichzeitig klein werden muss. Siehst du das nicht?

22.07.2016, 22:37

inalotte

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Hey Danke, ich gehe jetzt schlafen und werde morgen nochmal dein Beispiel anschauen. Danke soweit smile

smile

23.07.2016, 10:41

inalotte

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Also irgendwie habe ich damit noch ein Problem.
Guckt man sich den ersten Fall an, x=1, dann steht da
$\begin{eqnarray*} |(1-1^n)^2-0|=0<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Der zweite Fall x ungleich 1. also $\begin{eqnarray*} x \in [0,1) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |(1-x^n)^2-1|<\epsilon =<br /> |(1-2x^n+x^{2n})-1|<\epsilon =<br /> |(-2x^n+x^{2n})|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Und dieser Betrag geht doch eindeutig gegen Null in dem Intervall [0,1).Warum genau ist die Folge jetzt nicht gleichmäßig konvergent? Habe gerade irgendwie eine lange Leitung sorry dafür unglücklich

unglücklich

23.07.2016, 10:54

Guppi12

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Wir gehen einfach mal Schritt für Schritt die Definition durch.

Ich gebe $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ vor. Jetzt zeig du mir ein natürliches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |x^{2n}-2x^n| < \epsilon = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\neq 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Vielleicht ist es hier etwas schwieriger zu überblicken, falls dir das zu kompliziert ist, nimm stattdessen mal die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} 1-x^n \end{eqnarray*}$ , also ohne das Quadrat. Deiner Argumentation nach müsste diese ja gegen die gleiche Grenzfunktion gleichmäßig konvergieren.

Zeige mir ein natürliches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} |(1-x^n)-1| = |x^n| < \frac 12 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\neq 1 \end{eqnarray*}$ .

23.07.2016, 11:53

inalotte

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Das wird schwierig, denn x kann ja beliebig nah an die 1 ran. Also ein festes n werde ich dir nicht nennen können, weil egal wie groß das n ist, ich pack das x einfach noch dichter an die eins ran und es haut nicht mehr hin, oder?

23.07.2016, 12:01

Guppi12

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Ja, genau das ist der Punkt. Bei punktweiser Konvergenz ist das erlaubt. Für jeden Punkt alleine konvergiert die Funktionenfolge ja gegen die Grenzfunktion. Alle Punkte gemeinsam tun dies aber nicht mehr, deswegen liegt hier keine gleichmäßige Konvergenz vor. Ist der Unterschied nun klar geworden?

23.07.2016, 12:14

inalotte

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Ja schon viel klarer, Danke smile

smile

Eine Frage noch: wie zeige ich das denn nun mathematisch?
Meine Begründung eben war ja recht intuitiv und würde in der Klausur sicher nicht so akzeptiert werden.
mfG

23.07.2016, 12:23

Guppi12

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Für die Funktionenfolge ohne Quadrat wäre das recht simpel direkt anhand der Definition zu machen.

Man könnte so argumentieren: Würde die Funktionenfolge gleichmäßig konvergieren, so gäbe es zu $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac 12 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} x\in[0,1] \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ . Dabei ist dann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ der punktweise Grenzwert, denn dieser wäre der einzig mögliche Kandidat für einen gleichmäßigen Grenzwert. Speziell für $\begin{eqnarray*} n:=N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x := \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{n}}\in [0,1] \end{eqnarray*}$ ist dies aber offensichtlich falsch, wie man durch Einsetzen sieht, also muss die Annahme falsch gewesen sein.

Für deine eigentlich Aufgabe müsste man da schon etwas mehr tun. Erinnern wir uns nocheinmal an die Frage von Iorek zu Beginn.

Zitat:

Bevor du dir die Mühe mit Epsilon machst: hattet ihr schon Aussagen zu gleichmäßigen Funktionenfolgen und Stetigkeit? Damit wärest du in einer Zeile fertig. smile

Kennst du irgendetwas in der Art?

23.07.2016, 13:01

inalotte

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Hab gerade mal in den Skript geschaut, sieht nicht so aus unglücklich

unglücklich

Hättest du vielleicht eine Anregun, wie ich an sowas rangehen könnte?

23.07.2016, 13:20

Guppi12

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Idee ist dann, immer schön abzuschätzen. Du weißt, dass du $\begin{eqnarray*} |2x^n-x^{2n}| \end{eqnarray*}$ möglichst groß machen musst, das kann man umschreiben zu $\begin{eqnarray*} x^n\cdot |2-x^n| \end{eqnarray*}$ . Kannst du das irgendwie vereinfachend nach unten abschätzen?

23.07.2016, 14:37

inalotte

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mhmm ich würde es so versuchen:

$\begin{eqnarray*} x^n(2-x^n)>x^n \end{eqnarray*}$ (wegen x^n<1) Und bei x^n selbst greift dann wieder die Argumentation von eben?

23.07.2016, 14:40

Guppi12

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Richtig.

23.07.2016, 14:43

inalotte

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Super, ich habe es jetzt auf jedenfall einigermaßen verstanden.Vielen Dank!

mfG

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