Ableitung

22.07.2016, 21:44	Krudus22	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung Ich bin grade irgendwie zu dumm um folgendes zu zeigen: Die Funktion ist nicht differenzierbar in $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f:[-1,1]\to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ . Da die Wurzel funktion nicht differenzierbar in $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ist sollte dies eigentlich der Fall sein. Denn aufgrund der Stetigkeit der Funktion ist ja $\begin{eqnarray} \lim x \to 1 f(x) = f(1) = 0 \end{eqnarray}$ . Ich habs mit hilfe der h-Methode probiert: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(h+1)-f(1)}{h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1-(h+1)^2}-0}{h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1-h^2-2h-1}}{h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{-h^2-2h}}{h} \end{eqnarray}$ Aber die Wurzel für negative zahlen existiert doch garnicht. Zu zeigen das $\begin{eqnarray} f(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray}$ nicht in $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ diffbar ist funktioniert. Wo liegt mein Denfehler? Ich müsste doch auch hier zeigen können, dass es nicht diffbar ist.
22.07.2016, 22:31	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung Da die Funktion nur bis x=1 als Randpunkt definiert ist, kann man sich diesem nicht von rechts nähern. D. h. was ist hier $\begin{eqnarray} f(1+h) \end{eqnarray}$ ? Probiers nochmal mit der Grenzwertbildung nur von links: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0}-h)-f(x_{0}) }{x_{0}-h-x_{0} } \end{eqnarray}$ Bin dann für heute weg.
23.07.2016, 00:45	Krudus22	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Klauus, vielen dank für die schnelle Antwort: $\begin{eqnarray} \lim_{h\to0}\frac{f(1-h)-f(1)}{-h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lim_{h\to0}\frac{\sqrt{1-\left(1-h\right)^{2}}-0}{-h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lim_{h\to0}\frac{\sqrt{2h-h^{2}}}{-h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lim_{h\to0}\frac{h\sqrt{\frac{2}{h}-1}}{-h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lim_{h\to0}-\sqrt{\frac{2}{h}-1} = -\sqrt{\lim_{h\to0}\frac{2}{h}-1} = -\infty \end{eqnarray}$ Begründung: Die Wurzelfunktion ist streng monton wachsend. Damit geht der Term gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ und wegen dem Vorzeichen natürlich gegen $\begin{eqnarray} -\infty. \end{eqnarray}$ Tatsächlich meinte ich auch den limes von unten, das haben wir immer mit einem pfeil nach oben geschrieben (wusste nicht wie ich den hier mache. Hab dann nur irgendwie am ende nicht mehr dran gedacht, dass es dann ja wieder positiv ist. So sollte es jetzt stimmen oder? mfg. Krudus EDIT(Helferlein): Folgebeitrag sinngemäß eingefügt und anschließend gelöscht
25.07.2016, 12:04	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte nur $\begin{eqnarray} \lim_{h\to0}\frac{\sqrt{2h-h^{2}}}{-h}=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{h} \sqrt{2-h}}{-h}=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{2-h}}{-\sqrt{h} } \end{eqnarray}$ im Hinblick auf Übersichtlichkeit und Anwendung von Grenzwertsätzen bevorzugt, aber im Ergebnis stimmts sonst.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »