Flussintegral

23.07.2016, 15:56	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Flussintegral Hallo, Sei $\begin{eqnarray} S=\{x\in\mathbb R^3 \| 0\leq x_1 \leq 1, 0\leq x_2 \leq x_1-x_1^2, x_3=x_1^2+x_2\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F(x)=(x_1^2, x_3, -x_2)<br /> \end{eqnarray}$ . Berechne $\begin{eqnarray} \int_{\partial S} F\cdot d\gamma \end{eqnarray}$ . a) direkt b) Mittels Satz von Stokes Nun möchte ich hier nicht alles durchrechnen sondern eher ein Verständnisproblem angehen. Angenommen die Menge $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ beschreibt einen Zylinder und F ist ein Fluss (also ein echter, mit Wasser :p). Wir halten unseren Zylinder also in den Fluss und wollen messen, wie den der Fluss durch unseren Zylinder ist. bei a) wird nun folgendes berechnet: (1) $\begin{eqnarray} \int_{\partial S} F\cdot d\gamma=\int_{\alpha=\alpha_1+\alpha_2} F(k(t))\cdot \dot{k}(t) dt = \int_{k_1} F(k_11(t))\cdot \dot{k_1}(t) dt + \int_{k_2} F(k_2(t))\cdot\dot{k_2}(t) dt \end{eqnarray}$ Frage 1: Stimmt die Notation? ALso das 1. Gleichheitszeichen? (Ich glaube ich kann das so nicht schreiben?) Mit ist aber klar, dass ich Wege addieren kann etc. Obiges Integral lese ich als: Der Fluss durch die Oberfläche unseres Zylinders ist gleich dem Fluss durch seinen Rand. Wobei sein Rand der unter und obere Kreisrand ist. (Nicht Kreis, nur dessen Rand) Und genau das verstehe ich nicht. Wieso sollte dem so sein? Zu stokes möchte ich jetzt noch nichts sagen. Die wichtige Frage ist: Wieso giltet (1)? Edit: Was wäre, wenn unser S eine Kugel beschreiben würde (kein Rand)? Welche Theorie käme dann für eine direkte berechnung zum Einsatz?
23.07.2016, 18:09	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flussintegral $\begin{eqnarray} \int_S\mathop{\rm rot}\pmb{F}\cdot d\pmb{o}=\int_{\partial S}\pmb{F}\cdot d\pmb{s} \end{eqnarray}$ Links steht ein Oberflaechenintegral, rechts ein Kurvenintegral. $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ kann kein Zylinder und auch keine Kugel sein. $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ist eine Flaeche. Im Beispiel ein Stueckchen vom Graphen einer Funktion. In Worten: Die Zirkulation des Feldes $\begin{eqnarray} \pmb{F} \end{eqnarray}$ laengs einer geschlossenen Kurve ist gleich dem Fluss des Feldes $\begin{eqnarray} \mathop{\rm rot}\pmb{F} \end{eqnarray}$ durch eine in die Kurve eigespannte Flaeche.
25.07.2016, 12:02	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
S kann aber die Fläche des Zylnders beschreiben. Jedenfalsl sehe ich nicht wie das meine Frage beantwortet.
25.07.2016, 16:50	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn S keinen Rand hat, dann ist die Aufgabe hinfaellig, da man dann schlecht ein Kurvenintegral ueber einen nichtexistierenden Rand ausrechnen kann. Der Satz von Stokes faellt dann auch flach, da die Haelfte zu seiner Formulierung fehlt. Ansonsten ist ist das Integral von $\begin{eqnarray} \mathop{\rm rot}\pmb{F} \end{eqnarray}$ ueber eine geschlossene Huellflaeche immer null. (Uebungsaufgabe!) Als Tipp: Fuer Fluesse ueber geschlossene Huellflaechen ist der Satz von Gauss zustaendig.

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