Kann man die Fläche eines Geheges mit festen Seitenlängen optimieren? |
| 23.07.2016, 18:20 | HochlandTibet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kann man die Fläche eines Geheges mit festen Seitenlängen optimieren? Hallo, bei diesen Optimierungsproblemen, die man aus der Schule kennt, ist z.B. die größtmögliche Fläche eines Rechtecks gesucht, und man schaut dann, welche Seitenlängen da passen. Jetzt habe ich mich gefragt, ob man die Fläche meines Kaninchenfreigeheges optimieren kann. Und wenn ja, wie. Der Unterschied zu dem Beispiel oben ist, dass mein Gehege feste Seitenlängen hat und ich nur die Winkel der Zaunelemente verändern kann. Und außerdem ist der Stall eine Begrenzung, die fest an einem Ort steht und an die das Gehege anschließen muss. Mir würde mit meinen Mitteln (zehnte Klasse) nur einfallen, verschiedene Gehegeaufstellungen aufzuzeichnen und die Fläche zu vergleichen, weil ich nicht weiß, ob/wie man für sowas seine Funktion aufstellt/Nebenbedingungen findet. Oder halt meine Idee von unten, von der ich nicht weiß, ob sie Sinn hat. Also ich habe fünf Zaunelemente, die zusammenhängen, jedes 113cm lang und der mögliche "Öffnungswinkel" zwischen zwei Zäunen geht ungefähr von 70º-160º. Und dann habe ich noch ein rechteckiges Gehege, das man aber auch anders aufstellen kann, allerdings sind da die möglichen Winkel nicht so groß, d.h. eine gerade Linie könnte man damit nicht aufstellen, alles über 130º wird schwierig. Ach so und was mir noch schwierig vorkam, ist, dass das Gehege ja zwei Seiten übereinander hat, wenn man im Koordinatensystem von oben draufschaut. Und eine Funktion kann ja nicht zwei y Werte für einen x Wert haben. Ich hoffe, es kann mir jemand helfen, auch wenn Ferien sind 
Lg HochlandTibet Meine Ideen: Da ich Integrale noch nicht in der Schule hatte, weiß ich nicht, ob das so gehen könnte, aber ich hatte mich gefragt, ob es vielleicht möglich wäre, das Ganze so anzugehen: 1. Die Zaunelemente als lineare Funktionen die nur in einem Intervall sind, in ein Koordinatensystem so einzeichnen, dass jedes 113 Einheiten lang ist. Die Winkel findet man dann über Sinus und so. 2. Die Fläche, die von dem Zaun eingeschlossen wird, mit Integralen berechnen (die Fläche so zerlegen, dass keine Ecke, wo die Steigung springt, in dem Intervall ist), und wenn zwischen dem einen Zaun und der x Achse noch ein zweiter Zaun ist, die Flächen subtrahieren und dann hat man die Gehegeteilfläche. Die Teilflächen zusammenzählen. 3. Und dann das ganze mit verschiedenen Zaunaufstellungen? Wie geht das? |
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| 23.07.2016, 19:36 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Näherungslösung: Bei gegebenem Umfang hat der Kreis die größte Fläche. Also versuchen, eine kreisähnliche Anordnung zu erreichen. |
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| 23.07.2016, 19:42 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hört sich kompliziert an. Ein Kreis ist optimal. Man sollte sich also so gut wie machbar einer Kreislinie als Zaun annähern. |
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| 25.07.2016, 11:16 | Shalec | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"Mit festen Seitenlängen" erinnert mich an "Unter allen Rechtecken mit gleichem Umfang ist das Quadrat das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt." Dazu hatte ich mal was vor Jahren getippt. Ich versuche das mal anzuhängen. |
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| 26.07.2016, 16:50 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist plausibel. Aber was bedeutet es konkret? Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Sache mit dem Stall richtig interpretiere. Wenn eine Stallwand eine weitere Seite des Geheges sein soll, sollte das Optimum so aussehen: [attach]42371[/attach] Dabei ist a die Länge der Stallwand und l die Länge der 5 Zaunstücke. Der Winkel ergibt sich aus der Gleichung Diese ist analytisch lösbar. Der Winkel ergibt sich aus Ein exakter Nachweis, dass dies das Optimum ist, könnte etwas mühsam sein. |
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| 26.07.2016, 16:58 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man sollte auch bedenken, dass in diesem Fall das Augenmaß ziemlich gut ist. Man wird die also schon "nach Gefühl" ziemlich optimal hinstellen. |
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| 26.07.2016, 17:02 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist richtig! Aber den Mathematiker interessiert natürliche die exakte Lösung, auch wenn sie nur ein an zusätzlicher Fläche gegenüber dem Augenmaß bringt. |
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