Beweis Umkehrsatz stetiger Funktionen

23.07.2016, 21:30	Frodo92	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Umkehrsatz stetiger Funktionen Ich verstehe folgenden Beweis aus meinem Skript nicht: Satz: Ist $\begin{eqnarray} f:[a,b]\to \mathbb{C} \end{eqnarray}$ stetig und injektiv mit Bildmenge $\begin{eqnarray} B:=f([a,b]) \end{eqnarray}$ , dann ist auch die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} f^{-1}: B\to [a,b] \end{eqnarray}$ stetig. Beweis: Sei $\begin{eqnarray} (y_n)_{n\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ Folge in $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y_n\to y_0 \in B \end{eqnarray}$ . z.z. $\begin{eqnarray} f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0) \end{eqnarray}$ . Die Beweis Idee ist noch klar. Die Beschränktheit von $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ impliziert, dass $\begin{eqnarray} (f^{-1}(y_n))_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ eine konvergente Teilfolge hat. Klar das ist einfach Bolzano. Sei $\begin{eqnarray} (x_{n_k})_{k\in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ eine konvergente Teilfolge ihr Grenzwert $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ liegt dann in $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ . Nun folgt der Teil den ich nicht verstehe: Wir haben: $\begin{eqnarray} f(\xi) = \lim f(x_{n_k}) = \lim y_{n_k} =y_0 \end{eqnarray}$ . Das dritte $\begin{eqnarray} = \end{eqnarray}$ macht mir schwierigkeiten. Ist $\begin{eqnarray} y_{n_k} \end{eqnarray}$ nun eine Teilfolge von $\begin{eqnarray} y_n? \end{eqnarray}$ Wenn ja warum konvergiert $\begin{eqnarray} \lim f(x_{n_k}) \end{eqnarray}$ gegen diese Teilfolge?
23.07.2016, 22:19	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Frodo, man setzt zuerst $\begin{eqnarray} x_n := f^{-1}(y_n) \end{eqnarray}$ . Diese Folge hat dann eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray} x_{n_k} \end{eqnarray}$ . Natürlich gilt dann $\begin{eqnarray} f(x_n) = y_n \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , insbesondere also für $\begin{eqnarray} n_k \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ .

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