Eine passende lineare Abbildung finden

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Matan24 Auf diesen Beitrag antworten »
Eine passende lineare Abbildung finden
Meine Frage:
Hallo, ich bereite mich gerade auf meine Kombi-Klausur für Lineare Algebra 1 und 2 vor. Mit folgender Aufgabe weiß ich leider nichts so richtig anzufangen...

Aufgabe:
Finden Sie in jedem der folgenden Fälle eine lineare Abbildung f: R³ -> R³ mit den angegebenen Eigenschaften und erläutern Sie, wieso Ihre Abbildung die Anforderungen erfüllt.

(i) f ist nicht-invertierbar und es gibt eine Basis von Eigenvektoren.
(ii) f ist orthogonal (bzgl. des Standardskalarprodukts) und 1 ist kein Eigenwert von f.
(iii) f hat genau einen Eigenwert und f³= f² aber f² ungleich f.

Meine Ideen:
Zu (i): In unserer Lerngruppe habe wir probiert mit det ungleich 0 zu arbeiten (d.h. eine Matrix A ist nicht-invertierbar, wenn det(A)=0 gilt). Wir haben jegliche Matrizen ausprobiert, jedoch hat nichts funktioniert bzw. det war nie 0. Wir haben auch probiert mit anderen Definitionen zu arbeiten, aber da kamen wir auch auf keinen grünen Zweig...

Zu (ii) und (iii): Nach dem Misserfolg in (i) haben wir zwar auch über diese Aufgaben diskutiert, haben aber schnell aufgeben, sodass ich dazu gar keinen Ansatz/Idee habe.

Ich würde mich über eure Hilfe/Antworten sehr freuen! smile
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Sinn und Zweck solcher Aufgaben ist es Beispiele selber durchzuprobieren, sehr, sehr viele Beispiele.
Schnell aufgeben ist hier genau das falsche.

Bei der i) seid ihr prinzipiell schon mal richtig vorgegangen. Ihr braucht eine Matrix mit Determinante Null.
Davon gibt es sehr viele, auch Diagonalmatrizen.
Solltet ihr keine finden können, ist mein Vorschlag euch nochmal massiv mit dem Begriff Determinante zu beschäftigen, denn den habt iht dann nicht verstanden.

Zitat:
Wir haben auch probiert mit anderen Definitionen zu arbeiten

Was für andere Definitionen? Definitionen von was ?


Dann wendet euch dem zweiten Teil zu:
Zitat:
es gibt eine Basis von Eigenvektoren.

Fällt euch irgendeine äquivalente Formulierung dieser Aussage ein?
 
 
Matan24 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
also eine Basis aus Eigenvektoren bedeutet ja, dass die Vektoren linear unabhängig sein müssen. Wir haben dann probiert von der Einheitsmatrix aus auszugehen, indem wir sie mit Einsen ergänzt haben. Ist das der richtige Weg? Oder kann man da systematisch besser vorgehen?

Und diese Aufgabe ist aus einer Altklausur... Hätte man also damals dagesessen und hätte sämtliche Matrizen ausprobiert?! Wie mies... verwirrt
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
also eine Basis aus Eigenvektoren bedeutet ja, dass die Vektoren linear unabhängig sein müssen.

Ja das ist richtig hilft hier aber nicht sonderlich viel.
Das "aus Eigenvektoren" sollte ins Auge springen.

Zitat:
Wir haben dann probiert von der Einheitsmatrix aus auszugehen,

Schlechte Idee, die hat nämlich welche Determinante?

Zitat:
Hätte man also damals dagesessen und hätte sämtliche Matrizen ausprobiert?! Wie mies..

Nein, die Antworten auf die ersten beiden Fragen sind extrem einfach, auf die dritte ziemlich einfach.
Es ist nur generell in der Mathematik und speziell bei Prüfungsvorbereitung eine ganz schlechte Idee "schnell aufzugeben".
Prüfungsvorbereitung und Prüfung schreiben sind zwei unterschiedliche Dinge.
In der Prüfung würd ich dazu raten, bei einer Aufgabe die wenig Punkte bringt viel Zeit nur am Ende der Klausur zu verwenden wenn man noch welche über hat.
Matan24 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ja das ist richtig hilft hier aber nicht sonderlich viel. Das "aus Eigenvektoren" sollte ins Auge springen.

Das hat aber nichts mit Eigenwerten zu tun, oder?
Sorry, in diesem Punkt komme ich nicht weiter...

Zitat:
Schlechte Idee, die hat nämlich welche Determinante?

det=1 bzw. nach ausprobieren auch mal det=-1 oder det=2 ....

Zitat:
Nein, die Antworten auf die ersten beiden Fragen sind extrem einfach, auf die dritte ziemlich einfach.

Das freut mich zu hören traurig Hammer
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das hat aber nichts mit Eigenwerten zu tun, oder? Sorry, in diesem Punkt komme ich nicht weiter...

Natürlich haben Eigenwerte mit EIgenvektoren zu tun.
Und das wiederrum hat mit was bei Matrizen zu tun?
(Sorry das ist ein zentrales Thema einer jeden LinALg2-Klausur, das muss sitzen. )

Zitat:
bzw. nach ausprobieren auch mal det=-1 oder det=2 ....

Bitte erklär mir das.
Matan24 Auf diesen Beitrag antworten »

Dass Eigenwerte was mit Eigenvektoren zu tun haben, war mir schon klar, nur dass mir die Eigenwerte im Bezug zu der Aufgabe helfen, das habe ich nicht gewusst.
Matan24 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
nach ausprobieren auch mal det=-1 oder det=2 ....

Ja das waren Determinanten, die wir durch das Rumprobieren und das Verschieben der Einser rausbekommen haben. In diesem Fall jetzt nicht mehr wichtig.
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ja das waren Determinanten, die wir durch das Rumprobieren und das Verschieben der Einser rausbekommen haben. In diesem Fall jetzt nicht mehr wichtig.

Ich fragte nach der Determinante der Einheitsmatrix. Nach nach der von irgendwelchen anderen Matrizen.
Was ist jetzt die Determinante der Einheitsmatrix?
(das richtig berechnen zu können ist ziemlich wichtig)
Und warum ist es jetzt eine schlechte Idee die hier zu betrachten?


Und eine weitere noch von dir unbeantwortete Frage:
Zitat:
Natürlich haben Eigenwerte mit EIgenvektoren zu tun.
Und das wiederrum hat mit was bei Matrizen zu tun?

Anders formuliert:
Warum macht man in der Vorlesung den ganzen EIgenwert/vektor Wust? WO wendet man das an?
Matan24 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir brauchen ja eine Matrix, die det=0 hat, und die Einheitsmatrix hat det=1.

Zitat:
Und das wiederum hat was mit Matrizen zu tun?

Aus den Eigenwerten kann ich die Eigenvektoren bestimmen. Aus den Eigenvektoren kann ich eine Basis bilden. Und mit Hilfe der Basis kann ich die Diagonalmatrix berechnen.
Meinst du das?
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das mein ich.
Matan24 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Antworten auf die ersten beiden Fragen sind extrem einfach, auch die dritte ziemlich einfach.

Auch wenn es so einfach sein soll, ich komme noch immer nicht drauf... traurig
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Da es nicht so recht vorangeht, erlaube ich mir mich kurz einzuschalten. (Sorry Tatmas, kanst danach gerne weiter machen)

Zu i) Überleg Dir, wie die Darstellungsmatrix bzgl. der Basis aus Eigenvektoren aussehen muss.

Zu ii) Du kennst sicherlich eine einfache orthogonale Matrix. Modifiziere diese ein wenig, um der zweiten Forderung gerecht zu werden (Beachte hier auch wieder den Hinweis zu i)

Zu iii) Stichwort Jordanform hilft vielleicht weiter.

Wie gesagt: Nur ein Versuch das ganze wieder etwas ins rollen zu bringen. Bin dann auch wieder raus.
Matan24 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Augenzwinkern
Also ich hab mir nochmal Gedanken gemacht:
Generell: Es ist doch nach Abbildungen gefragt, komme ich dann überhaupt mit Matrizen zu meinem Ziel?

Zu i) Lösungsvorschlag: f ist nicht-invertierbar und es gibt eine Basis von Eigenvektoren, wenn die Abbildung immer auf 0 abbildet. Bsp.: x² bildet auf 0 ab.

Ist das richtig?

VG und Danke natürlich an tatmas und Helferlein smile smile
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Dachte tatmas würde wieder übernehmen, aber anscheinend will er nicht mehr.

Dein Lösungsvorschlag ist nahe an einer korrekten Lösung. Allerdings ist mir nicht ganz klar, welche Abbildung Du nun meinst. "immer auf 0 abbilden" ist nicht das, was macht, mal ganz davon abgesehen dass f dann auch nicht linear wäre.
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