Reelle Zahlen und Bijektion binäre Zahlen in reelle Zahlen

25.07.2016, 03:44	Sharanok	Auf diesen Beitrag antworten »
Reelle Zahlen und Bijektion binäre Zahlen in reelle Zahlen Hallo zusammen, ich habe zwei ziemliche banale Frage auf die ich noch keine wirkliche Antwort gefunden habe. 1. Und zwar steht in unserem Skript, dass man sich die reellen Zahlen als "unendliche, nicht-periodische Dezimalbrüche" vorstellen kann. Die Konstruktion haben wir nicht besprochen. Ist diese Definition soweit richtig? Irgendwie hört sich das für mich nach den irrationalen Zahlen an. 2. Haben wir etwas später im Zusammenhang mit der Kardinalität der Potenzmenge der natürlichen Zahlen und der Kardinalität der reellen Zahlen aufgeschrieben, dass sich "ein unendlicher binärer Bruch der Form $\begin{eqnarray} 0,\mathrm{a_1}\mathrm{a_2}\mathrm{a_3}... \end{eqnarray}$ in fast 1:1 Korrespondenz zu den reellen Zahlen aus [0,1] darstellen lässt, bis auf die endlichen Brüche $\begin{eqnarray} 0,\mathrm{a_1}\mathrm{a_2}...\mathrm{a_m} \end{eqnarray}$ ." Weshalb nun die endlichen Binärbrüche nicht? Beispielsweise wäre doch 0,1 (binär) = 0,5 (Dezimal) und somit ebenfalls Element des reellen Intervalls [0,1]. Tut mir Leid für die etwas doofen Fragen, aber warum auch immer, lässt mir sowas keine Ruhe. MfG Sharanok.
25.07.2016, 05:38	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reelle Zahlen und Bijektion binäre Zahlen in reelle Zahlen 1) Du hast Recht. Das beschreibt die irrationalen Zahlen. 2) Das Problem wird nicht die Existenz sein, sondern die Eindeutigkeit. Ähnlich wie im reellen ist $\begin{eqnarray} 0, \bar 9 = 1, \bar 0 = 1 \end{eqnarray}$ . Somit Besitzt die 1 bereits zwei verschiedene Darstellungen. Das kann man genauso im binären machen, und den Trick kann man dann endlich viele Nachkommastellen nach rechts verschieben.
25.07.2016, 06:31	Sharanok	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reelle Zahlen und Bijektion binäre Zahlen in reelle Zahlen Hatte die Eindeutigkeit gar nicht Berücksichtigt :x Vielen Dank
25.07.2016, 16:39	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reelle Zahlen und Bijektion binäre Zahlen in reelle Zahlen Die eineindeutige Zuordnung erfodert, dass man wegen endlichen Brüchen der Form $\begin{align} 0,a_1 a_2 a_3\cdots a_m 1:=0,a_1 a_2 a_3\cdots a_m 1\overline{0} \end{align}$ entweder fordert, dass alle Brüche mit Periode 1 (ab einem bestimmten Index) ausgeschlossen werden oder alle endlichen Brüche, da $\begin{align} 0,a_1 a_2 a_3\cdots a_m 1=0,a_1 a_2 a_3\cdots a_m 0\overline{1} \end{align}$ . Betrachtet man also nur unendliche Brüche, so hat man die gwünschte Eineindeutigkeit.

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