Flächenintegral

25.07.2016, 14:38

amateurphysiker_

Flächenintegral

Hi mal wieder smile

Kann vielleicht jemand sagen, ob ich die Fläche in der Aufgabe korrekt berechnet habe? Ich sollte zwar eine andere Form zeigen, aber ich würde gerne erstmal wissen ob das Resultat korrekt ist. Danke!

25.07.2016, 16:35

Leopold

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Das Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen hast du meiner Ansicht nach noch richtig berechnet. Für den Mantelinhalt mußt du doch dann über dessen Betrag integrieren. verwirrt

25.07.2016, 20:09

amateurphysiker_

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Kann ich nicht die Gleichung hier verwenden (zweite grüne Box unten) und v=1 setzen?

26.07.2016, 10:46

Ehos

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Du willst die Formel für die Oberfläche eine Rotationskörpers herleiten, der durch Rotation der Kurve f(x) um die x-Achse entsteht.

Dazu schneidet man den Rotationskörper wie eine Salami in dünne Scheiben der Dicke dx. Nun zieht man von jeder Scheibe die Pelle ab. Für jede dünne Scheibe ist diese Pelle ein dünner Streifen mit folgendem Flächeninhalt

$\begin{eqnarray*} dA=\underbrace{\text{Breite des Streifens}}_{ds}\times \underbrace {\text{Länge des Streifens}}_{2\pi \cdot f(x)} \end{eqnarray*}$

Offenbar ist die Breite des Streifens gerade das Bogenlängen-Element ds der Kurve f(x), und die Länge des Streifens ist der Umfang des Rotationskörpers an der Stelle x, also $\begin{eqnarray*} u=2\pi\cdot f \end{eqnarray*}$ . Mit anderen Worten: Der abgewickelte Streifen hat die Oberfläche

$\begin{eqnarray*} dA=2\pi f\cdot ds \end{eqnarray*}$

Bekanntlich ist das Bogenlängenelement gerade $\begin{eqnarray*} ds=\sqrt{1+f'^2}dx \end{eqnarray*}$ . Einsetzten liefert folgenden Flächeninhalt des abgewickelten Streifens

$\begin{eqnarray*} dA=2\pi f\cdot \sqrt{1+f'^2}\,\,dx \end{eqnarray*}$

Der Flächeninhalt des gesamten Rotationskörpers ist die Summe der Flächeninhalte aller abgewickelten Streifen. Dazu müssen wir über x integrieren erhalten die gewünschte Formel für die Oberfläche eines Rotationskörpers

$\begin{eqnarray*} A=2\pi \int f(x)\cdot \sqrt{1+f'^2}\,\,dx \end{eqnarray*}$

26.07.2016, 12:21

amateurphysiker_

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Ok danke.

Laesst es sich alternativ auch ueber die o.g. Formel fuer das vektorielle Oberflaechenintegral berechnen? Und falls ja, was habe ich bei meinem Ansatz dazu falsch gemacht?

27.07.2016, 09:24

Ehos

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Der Flächeninhalt einer Fläche mit der Parameterdarstellung $\begin{eqnarray*} \Phi(x,y) \end{eqnarray*}$ lautet allgemein

$\begin{eqnarray*} A=\int\int \left | \tfrac{\partial \Phi}{\partial x}\times \tfrac{\partial \Phi}{\partial x}\right | \,\,dxdy \end{eqnarray*}$

Speziell bei einem Rotationskörper, welcher durch Rotation einer Funktion f(x) um die x-Achse entsteht, lautet die Parameterdarstellung der Oberfläche

$\begin{eqnarray*} \Phi=\begin{pmatrix} x \\ f(x)\cdot \sin(y) \\ f(x)\cdot \sin(y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit kann man den Integranden im obigen Integral leicht berechnen

$\begin{eqnarray*} \left | \tfrac{\partial \Phi}{\partial x}\times \tfrac{\partial \Phi}{\partial y}\right |=\left | \begin{pmatrix} 1 \\ \tfrac{\partial f}{\partial x}\cdot \sin(y) \\ \tfrac{\partial f}{\partial x}\cdot \sin(y) \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0 \\ -f\cdot \cos(y) \\ f\cdot \cos(y) \end{pmatrix}\right |=\left | \begin{pmatrix} \tfrac{\partial f}{\partial x}f \\ -f\cdot \cos(y) \\ -f\cdot \sin(y) \end{pmatrix}\right |=\sqrt{\left (\tfrac{\partial f}{\partial x}f \right )^2+f^2}=f\cdot \sqrt{1+\left ( \tfrac{\partial f}{\partial x}\right )^2} \end{eqnarray*}$

Einsetzen dieses Integranden in das obige Integral liefert folgendes Doppelintegral.

$\begin{eqnarray*} A=\int\int f(x)\cdot \sqrt{1+\left ( \tfrac{\partial f}{\partial x}\right )^2} \,\,dxdy \end{eqnarray*}$

Die Koordinate y ist gerade der Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ , wenn man Zylinderkoordinaten verwendet. Da es sich um einen Rotationskörper handelt, muss man über die Koordinate $\begin{eqnarray*} y=\phi \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [0;2\pi] \end{eqnarray*}$ integrieren. Dadurch entsteht der Faktor $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ . Somit wird aus dem ursprünglichen Doppelintegral ein Einfachintegral über x

$\begin{eqnarray*} A=2\pi \cdot \int f(x)\cdot \sqrt{1+\left ( \tfrac{\partial f}{\partial x}\right )^2} \,\,dx \end{eqnarray*}$

27.07.2016, 16:47

amateurphysiker_

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Ah ok vielen Dank fuer die Erklaerung!!

Weisst du wieso dort am Ende ein "t" steht anstatt "x"?

27.07.2016, 20:07

Leopold

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Doppelt genäht hält wohl besser. Aber eigentlich hatte ich dir das schon gesagt:

Zitat:

Original von Leopold
Für den Mantelinhalt mußt du doch dann über dessen Betrag integrieren.

28.07.2016, 09:44

Ehos

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@amateurphysiker

Es ist egal, ob man die Funktion f(t) über t integriert oder die Funktion f(x) über x. Das t oder das x ist nur ein Symbol. In diesem Falle halte ich die Bezeichnung x für plausibler, denn es wurde ein Rotationskörper betrachtet, der bei Rotation einer Funktion um die x-Achse entsteht.

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