Konvergenzradius

25.07.2016, 16:44

Ozelot32

Konvergenzradius

Hallo leute.

Falls ich die Formel für Cauchy-Hardamat zur bestimmung des Konvergenzradius anwenden möchte:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\underset{n\to\infty}{\lim\sup}\sqrt[n]{a_{n}}} \end{eqnarray*}$

dann muss ich ja z.B. bei sowas wie

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{2n} \end{eqnarray*}$

darauf achten, dass ich bei den Folgengliedern die Wurzelziehe.

Denn die Formel gilt ja für die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ vor $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ .

Was aber ist, wenn ich sowas wie $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

dort stehen habe?

z.B. $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n+1}n}{n+1}z^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| =\frac{\frac{n}{n+1}}{\frac{n+1}{n+2}} \, =\frac{\left(n+2\right)n}{\left(n+1\right)\left(n+1\right)} \, =\frac{n^{2}\left(1+\frac{2}{n}\right)}{n^{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)} \, =\frac{\left(1+\frac{2}{n}\right)}{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)} \, \rightarrow1 \end{eqnarray*}$

Also konvergiert die Reihe für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$

Ich würde sagen das es dort egal ist ob dort nun $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ oder nur $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ steht.

Ist das korrekt?

Warum konvergiert die Reihe nach Wolframalpha überhaupt?

Die Koeffizenten bilde doch garkeine Nullfolge verwirrt

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

25.07.2016, 20:06

Leopold

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von Ozelot32
Warum konvergiert die Reihe nach Wolframalpha überhaupt?

Die Koeffizenten bilde doch garkeine Nullfolge verwirrt

Aber die Reihenglieder.

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