Trigonometrische Substitution

26.07.2016, 14:46	mudmath	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische Substitution Ich hänge an folgender Aufgabe fest $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{1} \! \sqrt{1-x^2} \, dx \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x=cos(\alpha ) \end{eqnarray}$ Irgendwie muss ich die Substitution falsch machen, denn das Ergebniss ist pi/2 $\begin{eqnarray} \alpha = cos^{-1}(x) ->\frac{ d\alpha}{dx }=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}} } ->dx=-\sqrt{1-x^{2}} \end{eqnarray}$ Ist das überhaupt soweit richtig? Gruß
26.07.2016, 15:01	mudmath	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum wurde das in Schulmathematik verschoben? Das ist Analysis II ps.: Der Definitionsbereich von alpha ist übrigens [-pi,0] Ist aber jetzt nicht wirklich hilfreich, dass das hier hin verschoben wurde. Hoffe hier lesen trotzdem die richtigen mit Substitutionsregel ist Oberstufenstoff, daher Schulmathe. Steffen
26.07.2016, 15:16	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann dir nicht ganz folgen. Wenn du $\begin{eqnarray} x:=\cos(u) \end{eqnarray}$ substituierst, dann ist $\begin{eqnarray} x'=-\sin(u) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \frac{\dd x}{\dd u}=-\sin(u) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \dd x=-\sin(u)\dd u \end{eqnarray}$ . Wie lautet dein Integral nun also?
26.07.2016, 15:29	mudmath	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_{-\pi}^{0} \! -sin^{2}(u) \, du \end{eqnarray}$
26.07.2016, 15:41	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein: $\begin{eqnarray} -\int_{\pi}^{0} \! \sin^{2}(u) \, \dd u=\int_{0}^{\pi} \! \sin^{2}(u) \, \dd u \end{eqnarray}$
26.07.2016, 15:46	mudmath	Auf diesen Beitrag antworten »
hast du jetzt einfach aus [-pi,0], [pi,0] gemacht? Verstehe. Und jetzt soll man da das Standardintegral auswendig können oder wie würde ich weiter integrieren?
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26.07.2016, 15:47	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun geht´s partiell weiter.
27.07.2016, 06:46	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder man verwendet $\begin{eqnarray} \sin^2(u) = \frac 1 2 \cdot (1 - \cos(2u)) \end{eqnarray}$ .
27.07.2016, 09:51	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja - wobei diese Beziehung nicht allen so geläufig ist. Daher hielt ich den Weg über einmalige partielle Integration und anschließender Anwendung des trigonometrischen Pythagoras für angebrachter - wir befinden uns hier schließlich in der Schulmathematik. (Liebe Grüße an Steffen).

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