Verteilungsfunktion

26.07.2016, 21:04	SpiderRicco	Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilungsfunktion Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe Probleme die folgende Umformung zu verstehen: $\begin{eqnarray} P\Big(\frac{Z_{11}}{n_1}+\mu>z,Z_{12}>y_1,\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{m_1}Z_{1i}+\mu \leq w_1\Big)=\int_{n_1(z-\mu)}^{n_1(w_1-\mu)-y_1} \int_{y_1}^{n_1(w_1-\mu)-z_{11}} P\Big(\sum_{i=3}^{m_1}Z_{1i}\leq n_1(w_1-\mu)-z_{11}-z_{12}\Big)dP^{Z_{12}}(z_{12})dP^{Z_{11}}(z_{11}) \end{eqnarray}$ Hierbei sind n_1,m_1 und \mu Konstanten, die Z_{1i} sind iid Exp(0,\theta_1) verteilt und es muss irgendwie aus der Umformung selber (da vorher keine Bedingungen gelten) folgen, dass $\begin{eqnarray} 0\leq y_1\leq n_1(w_1-z)\,,\, w_1\geq z\geq \mu \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Zur Umformung selber: Hier dachte ich könnte man in zwei Schritten vorgehen gemäß: $\begin{eqnarray} P\Big(\frac{Z_{11}}{n_1}+\mu>z,Z_{12}>y_1,\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{m_1}Z_{1i}+\mu \leq w_1\Big)=\int_{y_1}^{???}P\Big(Z_{11}>(z-\mu)n_1,Z_{11}+\sum_{i=3}^{m_1}Z_{1i}\leq(w_1-\mu)n_1-z_{12}\Big)dP^{Z_{12}}(z_{12}) \end{eqnarray}$ Die Idee für diesen ersten Schritt ist, dass man wegen Z_{12}>y_1 ja nur über Werte integrieren muss, die größer gleich y_1 sind. Hieraus ergibt sich auch für die oben angegeben Grenzen, dass y_1 größer gleich null sein muss, da aufgrund der Positivität der Trägers der Exponentialverteilung der Wahrscheinlichkeitsausdruck andernfalls 0 wird. Wie kommt nun aber sowohl die obere Grenze des Integrals als auch die obere Grenze für y_1 zu stande? Analoge Fragen würde ich dann auch für den zweiten Schritt formulieren: $\begin{eqnarray} = \int_{y_1}^{???}\int_{(z-\mu)n_1}^{???}P\Big(\sum_{i=3}^{m_1}Z_{1i}\leq(w_1-\mu)n_1-z_{12}-z_{11}\Big)dP^{Z_{12}}(z_{12})dP^{Z_{11}}(z_{11}) \end{eqnarray}$ Untere Integralgranze ist wieder klar, obere nicht. Außerdem müssen w_1 und z größer gleich \mu sein, da sonst wieder der W'Ausdruck null wird, was hier vernachlässigt wird. Warum w_1 größer gleich z gelten muss ist aber ebenfalls unklar. Ich hoffe, ich konnte meine Fragen verständlich formulieren, und hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen. Ich sitze jetzt schon eine ganze Weile dran. Wäre für Hilfe also äußerst dankbar. Schönen Abend noch! Spider
28.07.2016, 13:08	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilungsfunktion Hallo, Aus $\begin{eqnarray} \frac 1{n_1}\sum_{i=1}^{m_1}Z_{1i}+\mu \leq w_1 \end{eqnarray}$ folgt doch $\begin{eqnarray} Z_{11} \leq (w_1-\mu)n_1 -\sum_{i=2}^{m_1}Z_{1i} \end{eqnarray}$ . Mit der Bedingung $\begin{eqnarray} Z_{12}>y_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Z_{1i}\geq 0 \quad \forall i\geq 3 \end{eqnarray}$ folgt somit: $\begin{eqnarray} Z_{11} \leq (w_1-\mu)n_1 -\sum_{i=2}^{m_1}Z_{1i}\leq (w_1-\mu)n_1 - y_1 \end{eqnarray}$ . Damit hast du die erste Grenze. Die zweite folgt analog. Anmerkung: Die $\begin{eqnarray} Z_{1i} \end{eqnarray*}$ sind unabhänging, richtig? Gruß

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