Polynomkoeffizienten bestimmen

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Shor-ty Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomkoeffizienten bestimmen
Hallo zusammen,

ich arbeite seit längerer Zeit schon an einem Programm das Flammenflächen berechnen soll. Diesbezüglich benötige ich die Gaskinetik um einige Parameter zu berechnen, wie bspw. die Wärmeleitfähigkeit, Viskosität etc. Diese Berechnungen sind recht komplex, sodass in der Literatur oft ein Fit getätigt wird. Im Klartext, bspw. wird für eine Spezies (nehmen wir mal Wasserstoff) H die Wärmeleitfähigkeit mit einem sehr komplexen Ausdruck für verschiedene Temperaturen gelöst. Man erhält also folgendes:

Temperatur Wärmeleitfähigket
300 x_1
340 x_2
400 x_3
.
.
.
4000 x_n

Anschließend wird mit den Daten ein Polynom angenähert. Die Funktion kenn ich. Sieht bspw. so aus:


Es muss doch jetzt möglich sein über numerische Methoden (Matrizen) die Werte für A, B, C, D und E zu bestimmen. Die logarithmen kann ich in eine Matrix A schieben:


Die Koeffizienten A-E kann ich in einen Vektor x schreiben:


und die linke Seite wäre dann b


A wäre dann bekannt und b auch. Stellt sich mir nur die zwei Fragen: a) Was ist wenn ich mehrere Gleichungen hab wie Unbekannte, wie geh ich hier vor? b) kann ich wenn ich gleich viele Unbekannte wie Gleichungen hab, das Matrixproblem einfach lösen? Hinweise zur Lösung solcher Probleme / Literatur ist herzlichst willkommen.

Was ich machen wollen würde:
a) Berechne von 300 - 4000 K die Werte und Speicher diese (Container c++) (bspw. dT = 100K)
b) Verwende diese Werte und berechne die Polynomkoeffizienten A, B, C, D, E

Ich steh auf m Schlauch unglücklich
Im Programm hätte ich die Matrix A und den Vektor b + x schon erstellt (wobei b ja unbekannte sind die ich berechnen möchte).

Jede Hilfe ist willkommen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shor-ty
a) Was ist wenn ich mehrere Gleichungen hab wie Unbekannte, wie geh ich hier vor?

Lineares Modell (multiple lineare Regression)
Shor-ty Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

danke für das Schlüsselwort. Ich werde mir das mal anschauen.
Shor-ty Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen,

vielleicht als Hilfe für andere. Die Lösung meines Problems zur Bestimmung der Polynomkoeffizienten ist wie folgt:



Die Frage hier war eben wie man die Matrix A für eine Vielzahl von Punkten bestimmt (die Inverse ist recht einfach). Die Lösung ist die Methode der kleinsten Quadrate. Wie man zur Matrix A und dem Lösungsvektor b kommt hab ich hier mal zusammengefasst (wenn auch vllt nicht so 100% korrekt wie es sein sollte).

http://www.holzmann-cfd.de/index.php/en/polynomcoefficients
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