Supremumsnorm absolute Homogenität zeigen

27.07.2016, 07:01

MatheSenf

Supremumsnorm absolute Homogenität zeigen

Meine Frage:
Die Aufgabe ist anschaulich relativ einfach, die Frage geht eher in die Richtung was als formaler Beweis zählt.

Gegeben ist der Vektorraum der Beschränkten Funktionen über der Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B(X) = \{f:X\to\mathbb R\vert~ \text{f ist beschränkt} \} \end{eqnarray*}$ .

Gezeigt werden soll das $\begin{eqnarray*} \|f\|=sup\{f(x)|x \in X\} \end{eqnarray*}$ eine Norm ist.

Meine Ideen:
Definitheit ist klar, absolute Homogenität ist anschaulich auch klar:

Da f beschränkt (und n.V. auf X definiert) ist und das Bild von f eine Teilmenge aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist, ist dass Supremum eine reele Zahl; da das Supremum über der Bildmenge gebildet wird und dort auch jedes Element eine reele Zahl ist, sollte das ganze linear skalieren.

Mein Hemdsärmeliger Beweis:

Betrachte ein beliebiges f.

Sei nun s:=sup(f(x)|x aus X).

$\begin{eqnarray*} \|f\| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

Latex korrigiert. Guppi12

27.07.2016, 10:10

MatheSenf

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RE: Supremumsnorm absolute Homogenität zeigen
Oh prima, so geht's natürlich auch.

OK, jetzt nochmal richtig:

Betrache beliebiges f.

$\begin{eqnarray*} \| f \| =sup(f(x)|x \in X)=:s \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , da Bild aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und beschränkt.

$\begin{eqnarray*} \| \lambda f(x) = \| \lambda s \| = | \lambda | \| s \| = |\lambda| \| f(x) \| \end{eqnarray*}$

Begründung: Warum gilt das? Weil $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ eine Zahl ist, die ich zu jeder Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ finde.

Habe ich damit überhaupt was gezeigt? Kann man das so machen?

27.07.2016, 11:00

klarsoweit

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RE: Supremumsnorm absolute Homogenität zeigen

Zitat:

Original von MatheSenf
Gezeigt werden soll das $\begin{eqnarray*} \|f\|=sup\{f(x)|x \in X\} \end{eqnarray*}$ eine Norm ist.

Erst mal würde mich interessieren, ob das so definiert wurde oder nicht eher so:
$\begin{eqnarray*} \|f\|=sup\{|f(x)|~|~x \in X\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MatheSenf
Habe ich damit überhaupt was gezeigt? Kann man das so machen?

Nein. Allein schon diese Zeile:

Zitat:

Original von MatheSenf
$\begin{eqnarray*} \| \lambda f(x) = \| \lambda s \| = | \lambda | \| s \| = |\lambda| \| f(x) \| \end{eqnarray*}$

ist formal ein einziges Desaster.

Letztlich ist doch dieses zu zeigen: $\begin{eqnarray*} sup(|\lambda \cdot f(x)|~|~x \in X) = |\lambda| \cdot sup(|f(x)|~|~x \in X) \end{eqnarray*}$

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