Trigonometrische Gleichung lösen |
| 27.07.2016, 13:35 | Denus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Trigonometrische Gleichung lösen Hey ho Mathe fans, ich bräuchte mal hilfe bei einer aufgabe: 1-cos(2x)- 2sin(2x) = 0 Meine Ideen: Also ich habe einiges ausprobiert mit den verhältnissen cos(2x) = 1-2sin^2(x) sin(2x) = 2sin(x)*cos(x) dan kommt man ja auf die gleichung: 1-(1-2sin^2(x))-2(2sin(x)*cos(x))=0 Nun hab ich 3 blätter vollgeschrieben mit diversen umställungen etc. aber ich komm irgendwie auf kein richtiges Ergebniss, hab leider keine Musterlösung dafür. ich hoffe jemand kann mir hier helfen Mfg Denus |
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| 27.07.2016, 13:42 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo Denus, das ist genau der richtige Weg. Löse mal die Klammern auf. Was erhältst du? |
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| 27.07.2016, 13:51 | Denus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
müsste 1-1-2sin^2(x)-4sin(x)*-2cos(x)= 0 sein und vereinfacht 2sin^2(x)+2sin(x)*cos(x)= 0 an der stelle würde ich halt 2sin(x) ausklammern, ist das soweit richtig? |
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| 27.07.2016, 13:58 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein - deine zweite Klammer ist ein Produkt, diese Klammer ist also unnötig (aber nicht verkehrt). Man multipliziert diese aber nicht aus. Es ist: Wir erhalten somit:
Das ist eine großartige Idee. Damit scheint die Aufgabe gelöst. 
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| 27.07.2016, 14:09 | Denus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hm beim ausklammern habert es mir irgendwie 2sin(x)(2sin(x)-2sin(x)*cos))=0 1 : 2sin(x) = 0 x = 0 2: 2sin(x)-2sin(x)*cos(x)=0 hier wieder ausklammern? 2sin(x)(-1+cos(x)) = 0 wobbei alle X = 0 sind ? |
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| 27.07.2016, 14:15 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das stimmt auch nicht - schnell zu sehen wenn man wieder ausmultipliziert: Dein erstes Produkt in der Klammer hat also den Faktor 2 zu viel, dein zweites Produkt den Faktor . |
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| 27.07.2016, 14:34 | Denus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ach ihc glaube ich habs jetzt : also ausgeklammer : 2sin(x) ( sin(x)-2*cos(x) ) =0 x1 = 0 x2 --> sin(x)-2*cos(x) = Wurzel (1-cos^2(x) ) - 2cos(x) = 0 dann wurzel isolieren und quadrieren ..... dann komm ich auf x = 63,43 grad wieder eingesetzt komm ich auf 0 (natürlich gerundet) aber mich stört beim ausklammern immer noch etwas z.b ich habe ja 4sin und wenn ich 2sin wegnehme müssten dan nicht noch 2sin bleiben? und auch beim 2sin^2 bleibt da nicht auch 2sin bestehen? oder was sehe ich da falsch? tut mir leid für die ewige fragerrei |
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| 27.07.2016, 14:47 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist eine Lösung. Es gibt aber unendlich viele. Denk an die zwei Lösung am Einheitskreis und die Periode.
Das ist viel zu umständlich. Zudem ist Quadrieren keine Äquivalenzumformung, also "gefährlich". Bei trigonometrischen Funktionen rechnen wir auch bitte im Bogenmaß. Nun dividiere mal durch . Denke dann auch wieder an die Periode.
Wenn du sin durch Apfelsinen ersetzt - dann kann ich dir folgen. 4sin kenne ich nicht. Wegnehmen heißt in der Mathematik subtrahieren. Was das mit unser Aufgabe zu tun hat ist mir schleierhaft. Ich bin nun erstmal weg - falls du weitere Fragen hast hilft bestimmt jemand anders gerne weiter. 
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| 27.07.2016, 15:04 | Denus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja das mit der periode habe ich nur hier im forum jetzt weggelassen weil ich dachte das würde es zu sehr füllen. bogenmaß ist ja nur den taschenrechner ummstellen das ändert ja nichts am ergebniss, aber du hast natürlich recht ^^ okey mit cos diviediren habe ich nicht dran gedacht das wäre ja tan(x) = 2 also tan^-1(2) mit dem ausklammern hat sich schon erledigt sorry hatte einene denkfehler :`D ja gut ich denke es ist alles soweit klar. danke für die hilfe |
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| 27.07.2016, 16:11 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Alles klar - gerne! Wenn du magst kannst du ja noch mal deine Lösungsmenge nun aufschreiben, dann hätten wir die Aufgabe komplett. |
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| 27.07.2016, 16:30 | Denus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja klar sorry , x1 = 0 grad + k*360 x2= 630 +k*360 3x0 63,43 +k*180 x4= 243,43+k`*180 ich habs allerdings nicht im bogenmaß weil das schon sehr lange her ist und ich das mit den perioden nicht mehr kopf habe und erstmal meine tabellen raussuchen müsste aber ich denke das genügt 
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| 27.07.2016, 16:35 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
3 und 4 sind identisch. 2 Stimmt nicht. Wie kommst du auf die 630°? |
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| 27.07.2016, 17:07 | Denus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ups 360 mein ich was meinst du mit identisch? ich meine mich zu erinnern das bei tangens immer 180 addiert wird |
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| 27.07.2016, 17:14 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann sind 1 und 2 auch identisch und dir fehlen Lösungen.
In beiden Gleichungen wird in Abhängigkeit von k stets 180° addiert. Damit wir unterschiedliche Werte bekommen, brauchen wir dann einen unterschiedlichen "Startwert", also einen, der nicht aus der anderen Gleichung zu berechnen ist. Deine 243,43° berechnen sich aber einfach, indem bei Gleichung 3 k=1 gesetzt wird. |
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| 27.07.2016, 17:25 | Denus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
uff ich schau mir das besser nachher in ruhe nochmal an kannst du mir eventuell eine seite dafür empfhehlen? ich war da früher schon ziemlich schlecht drin mit den mehreren ergebnissen bei sinus und cosinus ich hab es in erinnern das man bei sin und cos 360 addiert und bei tan 180 |
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| 27.07.2016, 17:36 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sin(x)=Cos²(x) lösen Guck mal dort (Post von HAL 9000 und meiner zum Ende des Threads). |
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| 27.07.2016, 17:48 | Denus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also wäre X2 180-0+K*360 bzw Pi+K*2PI doch gilt das auch bei tan(x)? |
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| 27.07.2016, 18:31 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nun hast du deinen zweiten Lösungsstrang erwischt.
Du kannst in diesem Fall auch noch beide zusammenfassen: Der erste Strang addiert von Null aus immer , der zweite ja von aus immer . Also können wir auch einen Startwert (z.B. Null) nehmen und immer addieren. Wir erhalten somit die Lösungsmenge:
Nein, nur der Sinus und Kosinus besitzen einen zweiten Lösungsstrang innerhalb einer Periode. |
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| 27.07.2016, 18:42 | Denus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
haha na endlich jetzt hab ichs auch einigermaßen verstanden , ein paar aufgaben des gleichen typs noch und dan muss es sitzen, echt super dieses Board ich bedanke mich sehr bei allen 
aber eine kleine frage hab ich noch gibt es einen bestimmten grund warum man diese immer im bogenmaß rechnen soll? in der uni wurde auch immer mit bogenmaß gerechnet aber ich finde in grad viel entspannter
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| 27.07.2016, 18:58 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Keine Ahnung - das kann ich dir nicht genau sagen. Vielleicht sind so schreibfaule Leute wie du der Grund, die nie Lust haben das Gradzeichen mitzuschreiben. 
Ich würde nicht mal auf die Idee kommen, sowas im Gradmaß anzugeben. Gewöhne dir bitte also an das Bogenmaß zu benutzen. |
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| 27.07.2016, 19:03 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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| 27.07.2016, 19:12 | Denus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hahah
na gut alles klar , danke für die hilfe nochaml :`D |
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