Wohin konvergieren diese Reihen?

27.07.2016, 17:55

Mandel

Wohin konvergieren diese Reihen?

Hallo zusammen!

Bei mir geht es (leider) nicht nur um eine Übungsaufgabe, sondern um eine Problemstellung aus meiner Abschlussarbeit...
Ich darin habe ich zwei unendliche Summen hergeleitet, welche zudem von einem Parameter $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängen. Sie sehen wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{j=1}^{\infty} \left( \frac{(-1)^{j-n+1}}{4(j-n)^2-1}\right) \left( \frac{(-1)^{j+n+1}}{4(j+n)^2-1}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{j=1}^{\infty} \left( \frac{(-1)^{j-n}}{4(j-n-1)^2-1}\right) \left( \frac{(-1)^{j+n+1}}{4(j+n)^2-1}\right) \end{eqnarray*}$

Ich sitze nun schon seit vorgestern an dem Problem und komme einfach nicht weiter. Meine letzte Mathevorlesung ist leider auch schon eine Weile her... verwirrt

Die Frage lautet also: Kann ich einen Ausdruck in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ angeben zu welchen die jeweiligen Summen konvergieren? Und wie sieht das aus?
Das sie es tun weiß ich (Aufgrund des physikalischen Sachverhalts der dahinter steckt und weil ich's durch einsetzen ausprobiert hab Big Laugh

)...

27.07.2016, 18:44

HAL 9000

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a) Zunächst mal ist

$\begin{align*} \sum \limits_{j=1}^{\infty} \left( \frac{(-1)^{j-n+1}}{4(j-n)^2-1}\right) \left( \frac{(-1)^{j+n+1}}{4(j+n)^2-1}\right) = \sum \limits_{j=1}^{\infty} \frac{1}{2(j-n)+1} \cdot \frac{1}{2(j-n)-1} \cdot \frac{1}{2(j+n)+1} \cdot \frac{1}{2(j+n)-1} \end{align*}$

Als nächstes könnte man eine Partialbruchzerlegung vornehmen, d.h.

$\begin{align*} \sum \limits_{j=1}^{\infty} \left( \frac{A}{2(j-n)+1} + \frac{B}{2(j-n)-1} + \frac{C}{2(j+n)+1} + \frac{D}{2(j+n)-1} \right) \end{align*}$ ,

mit der sich dann der Reihenwert $\begin{align*} -\frac{1}{2(4n^2-1)^2} \end{align*}$ bestimmen lässt.

b) Müsste prinzipiell ähnlich gehen. Sieht allerdings so aus, als kommt da generell 0 heraus. Augenzwinkern

27.07.2016, 19:20

Mandel

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Vielen Dank erstmal für den Ansatz!

Also EIGENTLICH sollte bei der ersten Summe immer ein Wert heraus kommen, welcher für $\begin{eqnarray*} n>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left( \frac{(-1)^{n}}{4n^2-1}\right)^2 \end{eqnarray*}$ entspricht.

Die zweite Summe SOLLTE für $\begin{eqnarray*} n>0 \end{eqnarray*}$ gegen 0 laufen, aber für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ gegen einen endlichen Wert ungleich 0.

verwirrt

27.07.2016, 19:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mandel
aber für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ gegen einen endlichen Wert ungleich 0.

n=0 habe ich nicht betrachtet, ich hatte angenommen, es geht nur um positive n.

Zitat:

Original von Mandel
Also EIGENTLICH sollte bei der ersten Summe immer ein Wert heraus kommen, welcher für $\begin{eqnarray*} n>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left( \frac{(-1)^{n}}{4n^2-1}\right)^2 \end{eqnarray*}$ entspricht.

Wenn du es EIGENTLICH besser weißt, dann brauchst du ja gar nicht zu fragen. Ich bin jedenfalls (gestützt auf MuPad-Berechnungen) nach wie vor anderer Meinung. Augenzwinkern

27.07.2016, 19:29

Mandel

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Sorry, das habe ich vergessen zu erwähnen. $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist eine ganze Zahl >= 0.
Ändert sich dadurch etwas an deinem Ansatz?

27.07.2016, 19:32

HAL 9000

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Am Ansatz nicht, aber an der Auswertung.

EDIT: Ähm, doch hast Recht: Für n=0 ist doch auch der Ansatz etwas anders.

28.07.2016, 01:23

Mandel

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Verrätst du ihn mir? smile

28.07.2016, 08:52

HAL 9000

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Na setz doch einfach mal $\begin{align*} n=0 \end{align*}$ in die zweite Reihe ein:

$\begin{align*} -\sum \limits_{j=1}^{\infty} \frac{1}{4(j-1)^2-1} \cdot \frac{1}{4j^2-1} = -\sum \limits_{j=1}^{\infty} \frac{1}{2j-3} \cdot \frac{1}{(2j-1)^2} \cdot \frac{1}{2j+1} \end{align*}$

Die dafür passende PBZ lautet

$\begin{align*} \sum \limits_{j=1}^{\infty} \left( \frac{A}{2j-3} + \frac{B}{2j-1} + \frac{C}{(2j-1)^2} + \frac{D}{2j+1} \right) \end{align*}$ .

28.07.2016, 11:02

Mandel

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Das mit der PBZ hab ich mir auch schon so gedacht...
Das grundlegende Problem bei mir ist nur, dass ich nicht so recht weiß wie man aus den entsprechenden Summen die Grenzwerte heraus bekommt.

Zum Beispiel: $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{j=1}^{\infty} \frac{A}{2j-3} \end{eqnarray*}$
Das sieht für mich irgendwie aus, wie eine harmonische Reihe. Die divergiert doch aber... Oder geschieht das wegen dem "-3" nicht?

Bei: $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{j=1}^{\infty} \frac{C}{(2j-1)^2} \end{eqnarray*}$
könnte ich mir vorstellen, dass man da über $\begin{eqnarray*} \frac{\pi^2}{6} = \sum \limits_{j=1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$
irgendwie ran kommt. Nur wie?

Tut mir echt leid, wenn ich mich bisschen wie das erste Auto anstelle...

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