Differenzierbarkeit zeigen

27.07.2016, 23:00

amateurphysiker_

Differenzierbarkeit zeigen

Hi,

in den beiden angehängten Aufgaben soll gezeigt werden, dass a) Richtungsableitungen existieren und b) die jeweiligen Funktionen in (0,0) nicht differenzierbar sind.

Könnte vielleicht mal jemand draufschauen ob ich a) jeweils korrekt gezeigt habe? Und passt A7.5 b) so auch?

Danke!

28.07.2016, 09:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differenzierbarkeit zeigen
Erst mal sollst du zeigen, daß f in (0, 0) stetig ist. Dazu sehe ich bei dir keine Rechnung.

Dann frage ich mich, was du mit $\begin{eqnarray*} \partial_x f(0,y) \end{eqnarray*}$ berechnen willst? Vom Ausdruck her ist das die partielle Ableitung nach x in einem Punkt (0, y). Diese existiert in jedem Fall, wenn y ungleich Null ist. Analog ist $\begin{eqnarray*} \partial_y f(x,0) \end{eqnarray*}$ die partielle Ableitung nach y im Punkt (x, 0). Was du aber untersuchen sollst, ist die Richtungsableitung in Richtung eines Vektors v im Nullpunkt. Also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f((0,0) + h \cdot v) - f(0,0)}{h} \end{eqnarray*}$

28.07.2016, 10:18

amateurphysiker_

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok. Hab ich das so jetzt richtig gemacht (also Richtungsableitung gezeigt)? Allerdings würde ich so nun auf zwei unterschiedliche Grenzwerte kommen von rechts und links, was ja bedeuten würde, das es nicht stetig ist, was allerdings wohl laut Aufgabenstellung der Fall sein sollte.

Wie muss ich dazu richtig vorgehen?

Sorry für die viele Fragerei, hab morgen meine Klausur, deshalb wird es langsam eng smile

Danke!!

28.07.2016, 10:27

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal hast du für v einen bestimmten Vektor (1,1) genommen, der nicht einmal auf 1 normiert ist. Du mußt das aber für einen beliebigen Richtungsvektor v zeigen.

Dann übersiehst du, daß $\begin{eqnarray*} \sqrt{h^2 + h^2} = \sqrt 2 |h| \end{eqnarray*}$ ist.

Und zu guterletzt sind die Fragen nach der Stetigkeit der Funktion f und der Existenz der Richtungsableitung unterschiedliche Paar Schuhe.

28.07.2016, 11:18

amateurphysiker_

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Erst mal hast du für v einen bestimmten Vektor (1,1) genommen, der nicht einmal auf 1 normiert ist. Du mußt das aber für einen beliebigen Richtungsvektor v zeigen.

Passt das jetzt so?

Zitat:

Original von klarsoweit
Und zu guterletzt sind die Fragen nach der Stetigkeit der Funktion f und der Existenz der Richtungsableitung unterschiedliche Paar Schuhe.

Aber impliziert eine Richtungsableitung, die rechts- und linksseitig verschieden ist nicht Unstetigkeit?

28.07.2016, 11:26

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von amateurphysiker_
Passt das jetzt so?

Ja.

Zitat:

Original von amateurphysiker_
Aber impliziert eine Richtungsableitung, die rechts- und linksseitig verschieden ist nicht Unstetigkeit?

Ist etwa f(x)=|x| in x_0=0 unstetig, nur weil die rechts- und linksseitigen Ableitungen verschieden sind?

28.07.2016, 11:47

amateurphysiker_

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah super, zumindest mal ein Teil! smile

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von amateurphysiker_
Aber impliziert eine Richtungsableitung, die rechts- und linksseitig verschieden ist nicht Unstetigkeit?

Ist etwa f(x)=|x| in x_0=0 unstetig, nur weil die rechts- und linksseitigen Ableitungen verschieden sind?

Ok wohl nicht. Es geht ja um "Sprünge" bei der Stetigkeit. D.h. ich muss zeigen, dass f(x,y) von allen Richtungen her gegen f(0,0)=0 konvergiert, ist das richtig? Falls ja, hab ich das so korrekt gemacht?

Danke!

28.07.2016, 12:08

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Meines Erachtens arbeitest du da an der Definition der Stetigkeit vorbei. Denn die verlangt, daß für alle Nullfolgen (x_n, y_n) die Folge (f(x_n), f(y_n)) gegen f(0,0) konvergiert. Bei deiner Rechnung bewegst du dich nur auf den Ursprungsgeraden. Ich kenne zwar jetzt kein Gegenbeispiel, aber meines Erachtens reicht das nicht.

Das läßt sich aber reparieren, wenn du die Folge $\begin{eqnarray*} (r_n \cdot cos(\phi), r_n \cdot sin(\phi)) \end{eqnarray*}$ nimmst, wobei r_n eine Nullfolge ist.

28.07.2016, 12:29

amateurphysiker_

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok alles klar, danke. Passt das so?

Und wie muss ich vorgehen um (Nicht-) Differenzierbarkeit in (0,0) zu zeigen? Ich werd aus unserem Skript leider nicht schlau :/

28.07.2016, 14:08

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider muß ich erst mal zwei Nachlässigkeiten korrigieren:

Bei der Stetigkeit lautet die korrekte Folge: $\begin{eqnarray*} (r_n \cdot cos(\phi_n), r_n \cdot sin(\phi_n)) \end{eqnarray*}$

Das ändert an der Rechnung nicht viel. Es müssen aber am Ende noch Betragsstriche rein: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} r_n \cdot cos(\phi_n) \cdot |sin(\phi_n)| \end{eqnarray*}$

Das zweite ist die Richtungsableitung. Korrekt ist: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f((0,0) + h \cdot v) - f((0,0))}{h} = ... = v_x \cdot |v_y| \end{eqnarray*}$

Nun zur Nicht-Differenzierbarkeit in (0,0):
Wäre f in (0,0) differenzierbar, dann gäbe es eine lineare Abbildung L mit den in der Definition genannten Eigenschaften. Die darstellende Matrix von L ist der Gradient von f im Nullpunkt. Das ist also $\begin{eqnarray*} (\partial_x f(0,0), \partial_y f(0,0)) = (0, 0) \end{eqnarray*}$ .

Mithin ist also $\begin{eqnarray*} r(h) = f(h) \end{eqnarray*}$ und es müßte $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to (0,0)} \frac{r(h)}{||h||} = \lim_{h \to (0,0)} \frac{f(h)}{||h||} = 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Finde nun eine Folge h_n := (x_n, y_n), für die das nicht der Fall ist.

28.07.2016, 17:32

amateurphysiker_

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Nun zur Nicht-Differenzierbarkeit in (0,0):
Wäre f in (0,0) differenzierbar, dann gäbe es eine lineare Abbildung L mit den in der Definition genannten Eigenschaften. Die darstellende Matrix von L ist der Gradient von f im Nullpunkt. Das ist also $\begin{eqnarray*} (\partial_x f(0,0), \partial_y f(0,0)) = (0, 0) \end{eqnarray*}$ .

Mithin ist also $\begin{eqnarray*} r(h) = f(h) \end{eqnarray*}$ und es müßte $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to (0,0)} \frac{r(h)}{||h||} = \lim_{h \to (0,0)} \frac{f(h)}{||h||} = 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Finde nun eine Folge h_n := (x_n, y_n), für die das nicht der Fall ist.

Sorry, da kann ich leider nicht folgen. Wie ist denn r(h) definiert? Könntest du mir vielleicht ein Beispiel geben an dem ich das Vorgehen etwas nachvollziehen kann? Ich weiss ich hab schon viel gefragt heute :/

29.07.2016, 08:52

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch Definition und weitere Folgerungen aus deinem Script gepostet. Da steht:

f ist in a differenzierbar, wenn es eine lineare Abbildung L und eine Funktion r_a gibt, so daß $\begin{eqnarray*} f(a+h) = f(a) + L(h) + r_a(h) \end{eqnarray*}$ (I) gilt, wobei obendrein die Restfunktion r_a die Bedingung $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{r_a(h)}{||h||} = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Weiter unten wird gefolgert, daß die darstellende Matrix der Abbildung L dem Gradienten $\begin{eqnarray*} \nabla f(a) \end{eqnarray*}$ entspricht

Stellen wir die obige Gleichung (I) nach r_a(h) um und ersetzen wir die Abbildung L durch den Gradienten, dann haben wir: $\begin{eqnarray*} r_a(h) = f(a+h) - f(a) - \nabla f(a) \cdot h \end{eqnarray*}$ (II)

Bezogen auf die Aufgabe ist f(0,0) = 0 und $\begin{eqnarray*} \nabla f(0,0) = (\partial_x f(0,0), \partial_y f(0,0)) = (0, 0) \end{eqnarray*}$ .

Das in Gleichung (II) eingesetzt ergibt: $\begin{eqnarray*} r(h) = f(h) \end{eqnarray*}$ und es müßte $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to (0,0)} \frac{r(h)}{||h||} = \lim_{h \to (0,0)} \frac{f(h)}{||h||} = 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Finde nun eine Folge h_n := (x_n, y_n), für die das nicht der Fall ist.

29.07.2016, 10:24

amateurphysiker_

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok DANKE!!

Neue Frage »

Antworten »

Differenzierbarkeit zeigen

Verwandte Themen