Linienintegral berechnen

28.07.2016, 13:00

OnFirE1337

Linienintegral berechnen

Hallo Leute, ich tu mich grade extrem schwer mit Linienintegralen, da ich das in der uni nicht richtig nachvollziehen konnte.

Die Aufgabe lautet :
Berechnen Sie für die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) = x(\frac{1}{2}x^{2}+3y^{2}-1)^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$ das Kurvenintegral über die Kurve, die vom Punkt (2,0) läng der Funktion $\begin{eqnarray*} C :x^{2} - 4y^{2} = 4 \end{eqnarray*}$ zum Punkt $\begin{eqnarray*} (2\sqrt{2},1 ) \end{eqnarray*}$ verläuft. Gegeben ist folgende Paramertriesierung von C:
$\begin{eqnarray*} (x(t),y(t)) = (2\sqrt{t^{2}+1},1 ), 0 \leq t \leq 1 \end{eqnarray*}$ .
Die Lösung sei $\begin{eqnarray*} \frac{56}{3} \end{eqnarray*}$ , allerdings ist alleine schon diese Aufgabenstellung eine recht unübliche im Vergleich zu den Beispielen die es so im Internet gibt zu Linienintegralen. Ich hab absolut keine Ahnung wo und wie ich Anfangen soll. Wäre echt super cool, wenn mir jemand unter die Arme greifen könnte und mir Lösungshinweise geben könnte...

Lg YS

28.07.2016, 16:10

Huggy

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RE: Linienintegral berechnen
Vorab, die von dir angegeben Parametrisierung der Kurve enthät einen Druckfehler!

Wäre die Kurve nach der Bogenlänge s parametrisiert, wäre das Linienintegral einfach

$\begin{eqnarray*} L=\int_{s_1}^{s_2}f(x(s),y(s))\, ds \end{eqnarray*}$

Mittels der Substitution $\begin{eqnarray*} s=s(t) \end{eqnarray*}$ erhält man:

$\begin{eqnarray*} L=\int_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t)) \frac {ds}{dt}\, dt \end{eqnarray*}$

Achtung: meine Notation ist hier schlampig, dafür aber kurz und prägnant. $\begin{eqnarray*} x(s) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ sind hier unterschiedliche Funktionen. Analog für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} ds/dt \end{eqnarray*}$ bekommst du aus der bekannten Formel für die Bogenlänge.

29.07.2016, 09:14

Ehos

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@Huggy
In deinem letzten Integral ist ein kleiner Tippfehler: Das Differenzial darf nicht lauten ds, sondern dt.

29.07.2016, 10:50

Huggy

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Ja klar. Danke für den Hinweis. Habe es oben korrigiert.

02.08.2016, 17:19

OnFirE1337

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Hey Leute,
kann mir eventuell jemand etwas linken wo ich mich genauer mit diesem Typ von Aufgabe einlesen kann? Ich verstehe eure Lösungshinweise noch nicht wirklich und finde leider nichts im Internet was dieser Aufgabenstellung ähnelt... Leider schreibt keiner meiner Kommilitonen mit, muss also komplett alleine durch.

02.08.2016, 17:54

Huggy

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Letzlich musst du dir nur die Berechnungsformel merken. Die steht in jeder Formelsammlung. Obige Hinweise hatten hauptsächlich den Zweck, sie zu rekonstruieren, wenn man sie vergessen hat, Es ist

$\begin{eqnarray*} \frac {ds}{dt}=\sqrt {\left ( \frac {dx}{dt} \right )^2+\left ( \frac {dy}{dt} \right )^2} \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} L=\int_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t)) \sqrt {\left ( \frac {dx}{dt} \right )^2+\left ( \frac {dy}{dt} \right )^2} \, dt \end{eqnarray*}$

Das musst du einfach mit deiner Kurve $\begin{eqnarray*} (x(t), y(t)) \end{eqnarray*}$ und deiner Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

02.08.2016, 18:36

OnFirE1337

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ok langsam versteh ichs, vielen dank soweit.

Was ich bisher schon umsetzten konnte ist :
$\begin{eqnarray*} L = \int_{0}^{1} \! f(x(t), y(t)) \, \sqrt{(\frac{dx}{dt} )²+(\frac{dy}{dt} )²} dt \end{eqnarray*}$
Die Grenzen des Integrals habe ich von 0 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ t $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1 übernommen.
Dann habe ich $\begin{eqnarray*} (2\sqrt{t^{2}+1},t ) \end{eqnarray*}$ nach t abgeleitet und in die Formel eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} L = \int_{0}^{1} \! f(x(t), y(t)) \, \sqrt{(\frac{2t}{\sqrt{t^{2}+1 } } )²+1} dt \end{eqnarray*}$
Was ich noch nicht ganz verstehe ist was heisst $\begin{eqnarray*} f(x(t), y(t)) \ \end{eqnarray*}$ und bezieht es sich dann auf die hauptfunktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) = x(\frac{1}{2}x^{2}+3y^{2}-1)^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$ ?

02.08.2016, 19:36

Huggy

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Zitat:

Original von OnFirE1337
Was ich noch nicht ganz verstehe ist was heisst $\begin{eqnarray*} f(x(t), y(t)) \ \end{eqnarray*}$ und bezieht es sich dann auf die hauptfunktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) = x(\frac{1}{2}x^{2}+3y^{2}-1)^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$ ?

Ja, das bezieht sich auf deine Hauptfunktion. In der setzt du überall, wo $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ steht, $\begin{eqnarray*} x(t)=2\sqrt {t^2+1} \end{eqnarray*}$ ein und wo $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ steht. halt $\begin{eqnarray*} y(t)=t \end{eqnarray*}$ . Damit ist der ganze Integrand nur noch ein Funktion des Kurvenparameters $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Bevor du integrierst, solltest du natürlich den gesamten Ausdruck so weit wie möglich vereinfachen.

02.08.2016, 19:58

OnFirE1337

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Okay ich rechne das zu ende. Eine Frage habe ich da noch, wo für waren denn jetzt die zwei Punkte die vorgegeben waren?

03.08.2016, 08:23

Huggy

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Das sind der Anfangs- und der Endpunkt der Kurve. Da schon eine Parametrisierung der Kurve gegeben ist, ist die Information redundant. Man erhält ja die beiden Punkte automatisch, wenn man $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ in die gegebene Parametrisierung einsetzt. Anders wäre das, wenn man selbst eine Parametrisierng wählen würde. Dann wäre der Bereich des Kurvenparameter so festzulegen, dass man die gegebenen Punkte als Endpunkte erhält.

03.08.2016, 13:56

OnFirE1337

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Okay ich hab noch irgendwo einen Fehler unglücklich

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! 2\sqrt{t^{2}+1 }\left(t^{2}+1+3t^{2}-1\right)^{\frac{3}{2} } (\frac{2t}{\sqrt{t^{2}+1} }+1 ) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! 2\sqrt{t^{2}+1 }\left(4t^{2}\right)^{\frac{3}{2} } (\frac{2t+\sqrt{t^{2}+1}}{\sqrt{t^{2}+1} } ) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! 2\left(4t^{2}\right)^{\frac{3}{2} } ({2t+\sqrt{t^{2}+1}}) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \!\left(4t^{2}\right)^{\frac{3}{2} } ({4t+2\sqrt{t^{2}+1}}) \, dx \end{eqnarray*}$

komme immer wieder auf das gleiche falsche Ergebnis... Hammer

03.08.2016, 16:10

Huggy

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Zitat:

Original von OnFirE1337
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! 2\sqrt{t^{2}+1 }\left(t^{2}+1+3t^{2}-1\right)^{\frac{3}{2} } (\frac{2t}{\sqrt{t^{2}+1} }+1 ) \, dx \end{eqnarray*}$

Hier komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! 2\sqrt{t^{2}+1 }\left(2(t^{2}+1)+3t^{2}-1\right)^{\frac{3}{2} } \sqrt {\frac{4t^2}{t^{2}+1}+1} \, dx \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ hast du offenbar $\begin{eqnarray*} (x/2)^2 \end{eqnarray*}$ gerechnet statt $\begin{eqnarray*} x^2/2 \end{eqnarray*}$ . Und bei den Ableitungen hast du die gesamte Wurzel quadriert statt der Ableitungen unter der Wurzel. Mein Ergebnis lässt sich noch schön vereinfachen.

03.08.2016, 17:27

OnFirE1337

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vielen hezlichen Dank für deine Mühe und Geduld, habs jetzt alles hinbekommen! Freude

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