Wert einer Reihe bestimmen (Kehrwerte der ungeraden Quadrate)

29.07.2016, 14:41

Bleagle

Wert einer Reihe bestimmen (Kehrwerte der ungeraden Quadrate)

Hey, ich lerne gerade für eine Klausur und habe Probleme mit dieser Aufgabe (aus einer Altklausur):

Zeigen Sie:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+...= \frac{3}{4}\cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} \end{eqnarray*}$

Das die Reihe konvergiert ist klar, aber ich hab keine Idee wie ich den Wert bestimmen soll. Die Reihe lässt sich darstellen als:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^{2}} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4k^2-4k+1} \end{eqnarray*}$

Aber das bringt mir nicht viel..

In der Vorlesung haben wir nur sehr kurz über Reihen gesprochen, gerade genug um exp(x) zu definieren ^^

29.07.2016, 14:58

Bleagle

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Eh ja, kurz nach dem Posten ist mir die Idee gekommen *hust*. man betrachtet einfach die geraden Summanden:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k)^2} = \frac{1}{4} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

Und mit "Ungerade" = "Gesamt" - "Gerade" hat man dann das Ergebnis.

29.07.2016, 15:00

klarsoweit

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RE: Wert einer Reihe bestimmen (Kehrwerte der ungeraden Quadrate)
Korrekt. Freude