e^kx=x^3+ax^2+bx+c

31.07.2016, 16:12	coss	Auf diesen Beitrag antworten »
*e^kx=x^3+ax^2+bx+c* Meine Frage: Guten Tag! Folgende Gleichung ist gegeben: $\begin{eqnarray} 2^{x}= x(x-1)(x-1) \end{eqnarray}$ Es ist klar, dass keine analytische Lösung möglich ist; Werte x=2,65.. und x=9,34.. genügen der Gleichung , sonst gibt es keine. Meine Frage ist allgemeiner: offensichtlich gibt es solche Gleichungen der Form x^3+ax^2+bx+c, die keinen Schnittpunkt mit (der Einfachheit halber: ) $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ haben, 1 Schnittpunkt, 2 Schnittpunkte usw... Ich nehme an, mehr als 4 Schnittpunkte wären nicht möglich. Gibt es eine Möglichkeit (und wenn ja, wie wäre der Weg), eine allgemeine Form für solche Gleichnungen herauszufinden, die jeweils 0,1,2... Schnittpunkte haben; außerdem herausfinden welche Gleichungen nur einen Berührungspunkt mit $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ hätten; und wie viele Schnittpunkte maximal möglich wären? Vielen Dank im Voraus! Meine Ideen: Ich nehme an, der Weg führt über Differentialgleichungen, leider habe ich da zu wenig Erfahrung
03.08.2016, 13:06	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dies sind eben transzedente Gleichungen und nicht algebraisch lösbar, wie du schon bemerkt hast. Dazu ist ein Näherungsverfahren (Newton, CAS, Excel-Solver, Graphen, etc.) nötig. Manchmal kann man durch "scharfes Hinsehen" eine Lösung erraten. $\begin{eqnarray} 2^x = x(x+1) \ \to \ x = 1 \end{eqnarray}$ Oder hier, mit einem Polynom 3. Grades: Wie man an diesen Graphen hier sieht, wären eigentlich 3 Schnittpunkte zu erwarten, 2 davon sind aber komplex. ---------------------- Eine Differentialgleichung wird kaum eine Nullstelle ermitteln, denn deren Lösungen sind meist allgemein und wiederum Funktionen. mY+
03.08.2016, 13:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@mYthos Deine Graphen sind ein wenig irreführend, weil sie die jeweils größten reellen Lösungen nicht erfassen: Die (rote) Exponentialfunktion übersteigt irgendwann die (grüne) Polynomfunktion: Klar ist: Die reelle Funktion $\begin{align} f(x) = b\cdot a^x - p_n(x) \end{align}$ mit $\begin{align} a>0,a\neq 1,b\neq 0 \end{align}$ und einem Polynom $\begin{align} p_n \end{align}$ vom Grad $\begin{align} n \end{align}$ hat maximal $\begin{align} (n+1) \end{align}$ reelle Nullstellen, das kann mit vollständiger Induktion unter Nutzung des Satz von Rolle bewiesen werden.
05.08.2016, 12:27	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, interessant und folgerichtig. Die Exponentialfunktion steigt schneller als die Polynomfunktion. Bei der Berechnung mit dem CAS muss man das Intervall entsprechend erweitern. THX! mY+

1

Verwandte Themen