DGL Fundamentalsystem bei mehrfacher Nullstelle des char. Polynoms

01.08.2016, 09:34	ChefdeGemuse	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL Fundamentalsystem bei mehrfacher Nullstelle des char. Polynoms Meine Frage: Hallo zusammen, wenn beim charakteristischen Polynom des e-hoch-lamdba Ansatzes eine m-fache Nullstelle auftritt, dann findet man zunächst kein FS. Multipliziert man mit t , t^2, ... t^(m-1), dann hingegen schon. Mir ist klar, dass man damit die Anfangsbedingunh y(0) = 0 sonst nicht erfüllen könnte, aber wie genau kann man begründen, dass das multiplizieren mit t eine richtige weitere Lösung ist? Das wirkt auf mich ein bischen wie Hexerei. Versucht man einfach zwanghaft, eine weitere linear unabhängige Lösung zu finden, die jeden Wert annehmen kann und denkt sich " oh, mit t multiplizieren passt ganz gut"? Meine Ideen: Dass eine quadratische Gleichung zwei Lösungen hat, ist natürlich bekannt. Demnach muss es auch ein Fundamentalsystem geben. Daher sucht man gemäß des gewählten Ansatzes nach einer weiteren lin. unabh. Lösung. Den Exponenten zu verändern fällt flach, weil es die doppelte NS den Polynoms nicht zulässt. Bleibt noch die Multiplikation mit eder Variablen.
01.08.2016, 11:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreh- und Angelpunkt ist m.E. folgende Überlegung: Die DGL $\begin{align} a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \ldots + a_1y' + a_0y = 0 \end{align}$ mit ihrem charakteristischen Polynom $\begin{align} \chi(\lambda) = a_n\lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \ldots + a_1\lambda + a_0 \end{align}$ wird durch die Transformation $\begin{align} y = e^{\alpha t}z \end{align}$ in eine DGL $\begin{align} b_nz^{(n)} + b_{n-1}z^{(n-1)} + \ldots + b_1z' + b_0z = 0 \end{align}$ überführt, deren Koeffizienten sich aus ihrem charakteristischen Polynom $\begin{align} \tilde{\chi}(\lambda) = b_n\lambda^n + b_{n-1} \lambda^{n-1} + \ldots + b_1\lambda + b_0 \stackrel{!}{=} \chi(\lambda+\alpha) \end{align}$ ergeben. Beispiel: $\begin{align} y'''-3y'+2y=0 \end{align}$ mit $\begin{align} \chi(\lambda)=\lambda^3-3\lambda+2 \end{align}$ 1 ist doppelte Nullstelle von $\begin{align} \chi \end{align}$ , die Transformation $\begin{align} y=e^tz \end{align}$ ergibt $\begin{align} y' = e^t(z+z') \end{align}$ $\begin{align} y'' = e^t(z+2z'+z'') \end{align}$ $\begin{align} y''' = e^t(z+3z'+3z''+z''') \end{align}$ was eingesetzt zu $\begin{align} z'''+3z''=0 \end{align}$ führt. Gleiches hätte man erhalten über $\begin{align} \tilde{\chi}(\lambda) \stackrel{!}{=} \chi(\lambda+1) = (\lambda+1)^3-3(\lambda+1)+2 = \lambda^3+3\lambda^2 \end{align}$ . Damit kann erstmal der Fall einer $\begin{align} m \end{align}$ -fachen Nullstelle $\begin{align} \lambda=\alpha \end{align}$ über diese Transformation in eine $\begin{align} m \end{align}$ -fache Nullstelle $\begin{align} \lambda=0 \end{align}$ überführt werden. Die wiederum bedeutet $\begin{align} b_0=b_1=\ldots=b_{m-1}=0 \end{align}$ , d.h. die letzten $\begin{align} m \end{align}$ Glieder in der DGL verschwinden. Womit wiederum offensichtlich ist, dass sämliche Polynome $\begin{align} z=C_0+C_1t+\ldots+C_{m-1}t^{m-1} \end{align}$ maximal $\begin{align} (m-1) \end{align}$ -ten Grades Lösung der transformierten DGL $\begin{align} b_nz^{(n)} + b_{n-1}z^{(n-1)} + \ldots + b_{m+1}z^{(m+1)} + b_mz^{(m)} = 0 \end{align}$ sind, denn alle Ableitungen vom Grad $\begin{align} m \end{align}$ und höher verschwinden ja für diese Polynome! Zurücktransformiert hat man Lösungen $\begin{align} y=\left(C_0+C_1t+\ldots+C_{m-1}t^{m-1}\right)e^{\alpha t} \end{align}$ der originalen DGL, passend zur $\begin{align} m \end{align}$ -fachen Nullstelle $\begin{align} \lambda=\alpha \end{align}$ des originalen charakteristischen Polynoms.
02.08.2016, 16:10	ChefdeGemuse	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die ausführliche Antwort Hal. Hat mir sehr gut weitergeholfen, das nachzuvollziehen.

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