Paradoxe Ergebnisse bei Bsp. zu Binomialverteilung

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The Big Lebowski Auf diesen Beitrag antworten »
Paradoxe Ergebnisse bei Bsp. zu Binomialverteilung
Hallo!

Ich bin noch nicht dazugekommen mich mit LaTex auseinanderzusetzen. Bitte um Nachsicht, dass ich in diesem Post ausnahmsweise keine regelkonforme Formatierung benutze. Danke!

gegeben ist folgende Aufgabe:
"In einem Buch mit 320 Seiten sind 40 Rechtschreibfehler. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich auf einer zufällig aufgeschlagenen Seite genau k Fehler befinden"

Mein Lösungsweg:
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein bestimmter Fehler auf einer Seite x befindet ist 1/320. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich dieser Fehler auf einer anderen Seite befindet ist 319/320.
==> Die Wahrscheinlichkeit, dass sich k bestimmte Fehler auf Seite x befinden und die übrigen auf einer anderen ist
(1/320)^k * (319/320)^(40-k)
Es spielt aber keine Rolle welche Fehler sich auf Seite X befinden, daher kommt jede k-elementige Teilmenge aus der Menger der 40 Fehler in Frage.
==> Binominalverteilung mit p=1/320 und n=40:
P(H=k) = (40 über k) * (1/320)^k * (319/320)^(40-k)

So weit so gut. Doch ich sehe mich mit folgendem (vermeintlichem) Paradoxon konfrontiert:

Wenn sich die Ereignisse "Fehler i auf Seite x" und "Fehler j auf Seite x" gegenseitig ausschließen würden, wenn also auf einer zufällig gewählten Seite x immer nur maximal ein Fehler sein kann, dann wäre die Wahrscheinlichkeit, dass sich einer der 40 Fehler auf dieser Seite befindet gleich 40 *(1/320) = 1/8. Da sich die oben genannten Ereignisse aber nicht ausschließen, kommen zu den 40 Fällen, dass sich genau ein Fehler auf Seite x befindet auch jene Fälle hinzu, in denen mehr als ein Fehler auf Seite x sind. Meinem Verständnis nach muss die Wahrscheinlichkeit, dass sich mindestens ein Fehler auf Seite x befindet also auf jeden Fall größer als 1/8 sein. Damit müsste die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis, dass sich kein Fehler auf Seite x befindet, kleiner als 7/8 = 0.875 sein.
Berechnet man diese Wahrscheinlichkeit aber mit der obigen Formel der Binominalverteilung ergibt sich für k=0:
P(H=0) = (319/320)^40 = 0.88, also größer als 0.875 (?!?!?)

Wo liegt mein Denkfehler? Bitte um Hilfe, denn ich fange langsam an, an meinem Verstand zu zweifeln
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Dude,

deine ersten Überlegungen bis hin zur Binomialverteilung sind vollkommen richtig für das Modell, dass sich die einzelnen Fehler unabhängig voneinander über das Buch verteilen.


Danach passiert folgender Denkfehler:

Dieser Wert ist nicht die Wahrscheinlichkeit für (mindestens) einen Fehler auf einer Seite, sondern bereits der Erwartungswert für die Anzahl der Fehler auf dieser Seite! Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Fehler muss notgedrungen kleiner sein, sie ist (wie von dir bereits angedacht) gleich

.

Die darin enthaltenen zwar winzigen, aber dennoch positiven Wahrscheinlichkeiten für zwei oder mehr Fehler "heben" dann den Erwartungswert auf jene 0.125. D.h. nochmal in Formeln gegossen:

Ist die zufällige Anzahl von Fehlern auf einer Seite, sowie die Wahrscheinlichkeit für genau Fehler auf dieser Seite, so gilt

und

.

Alles in bester Ordnung, kein Widerspruch. Augenzwinkern


P.S.: Und noch ergänzt: Die Wahrscheinlichkeit für genau einen Fehler auf der Seite (also auch nicht mehr) ist gemäß Binomialverteilung gleich

.
 
 
The Big Lebowski Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Sehr gut erklärt Freude !
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