Integral berechnen

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01.08.2016, 20:58	Center2	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral berechnen Meine Frage: Hallo, ich soll ein Integral berechnen das wie folgt lautet: $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{0} \! xarcosh(x+2) \, dx \end{eqnarray}$ Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung wie ich da am besten rangehe. Weder Substitution noch part. Int. helfen mir hier weiter. Meine Ideen:* Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung wie ich da am besten rangehe. Weder Substitution noch part. Int. helfen mir hier weiter.
01.08.2016, 21:11	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie hast du denn bei der part. Integration angesetzt?
01.08.2016, 21:13	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit part. Integration kommst du ans Ziel.
01.08.2016, 21:19	Center2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok also parteielle Integration und dann das arcosh(x+2) normal Hand zu Fuß lösen? Werde es nochmal probieren danke
01.08.2016, 21:21	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Das steht nicht mehr im Integranden - sondern die Ableitung.
01.08.2016, 21:49	Center2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok hab nun raus $\begin{eqnarray} x[(x+2)arcosh(x+2)-\sqrt{(x+2)^{2}-1 } ]-\int_{-1}^{0} \! arcosh(x+2) \, dx <br /> \end{eqnarray}$ Das Integral schlage ich jetzt einach mal nach, wie ich es bei dem Ausdruck in der eckigen Klammer auch getan habe. Vielen Dank für die Tipps. Ich hoffe das stimmt ^^
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02.08.2016, 12:40	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann dir leider nicht folgen, was du da gemacht hast.
03.08.2016, 09:16	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ja, irgendwie hat Center2 eine partielle Integration über eine Stammfunktion von arcosh(x+2) gemacht. Die partielle Integration ist dann allerdings etwas verunglückt. @Center2: ich würde eine partielle Integration durch Bildung einer Stammfunktion von x machen. Es fragt sich allerdings, ob das noch in den Schulbereich gehört und ob das die komplette Aufgabe ist.
03.08.2016, 11:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachten wir erstmal nur die Stammfunktion, also noch nicht das bestimmte Integral. Mit partieller Integration wie von klarsoweit vorgeschlagen $\begin{align} u'=x,v=\operatorname{arcosh}(x+2) \end{align}$ kommt man zu $\begin{align} \int x\cdot\operatorname{arcosh}(x+2) ~ \dd x = \frac{x^2}{2}\cdot\operatorname{arcosh}(x+2) - \int \frac{x^2}{2\sqrt{(x+2)^2-1}} ~ \dd x \end{align}$ Zum Restintegral rechts betrachten wir als Nebenrechnung $\begin{align} \left( (Ax+B)\sqrt{(x+2)^2-1} + C\operatorname{arcosh}(x+2) \right)' &= A\sqrt{(x+2)^2-1} + (Ax+B)\frac{x+2}{\sqrt{(x+2)^2-1}} + \frac{C}{\sqrt{(x+2)^2-1}}\\<br /> &= \frac{2Ax^2+(6A+B)x+3A+2B+C}{\sqrt{(x+2)^2-1}}\qquad () \end{align}$ Per Koeffizientenvergleich können wir den Ableitungsterm rechts auf die gewünschte Form $\begin{align} -\frac{x^2}{2\sqrt{(x+2)^2-1}} \end{align}$ bringen: $\begin{align} 2A &= -\frac{1}{2}\\ 6A+B &= 0\\ 3A+2B+C &= 0 \end{align}$ . Zur im Raum stehende Frage "wie kommt man auf Ansatz ()" kann ich nur sagen: Ähnliches lässt sich auch durch weitere (allerdings nicht so offensichtliche) partielle Integrationen erreichen. Strukturell ist jedenfalls klar, dass in der Stammfunktion Terme der Form $\begin{align} \sqrt{(x+2)^2-1} \end{align}$ sowie $\begin{align} \operatorname{arcosh}(x+2) \end{align}$ eine Rolle spielen werden, und Ansatz () ist eben knapp ausreichend, um in der Ableitung die Struktur $\begin{align} \frac{P(x)}{\sqrt{(x+2)^2-1}} \end{align}$ für ein beliebiges vorgegebenes Polynom zweiten Grades $\begin{align} P(x) \end{align*}$ zu erreichen.

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