DGL System

02.08.2016, 10:02

yellowman

DGL System

Guten Morgen zusammen, ich habe folgende DGL gegeben die ich lösen soll.

$\begin{eqnarray*} y'=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}y+\binom{1}{1} \end{eqnarray*}$

I. Lösung der homogenen Gleichung:

Ich habe im ersten Schritt die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bestimmt.

Ich erhalte:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \binom{1}{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_2=-4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \binom{1}{-3} \end{eqnarray*}$

Damit müsste die Lösung der homogenen Gleichung lauten:

$\begin{eqnarray*} \vec{y}_H=c_1\binom{1}{1}+c_2e^{-4x}\binom{1}{-3} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das korrekt aus meinen Unterlagen verstanden habe berechnet sich nun die partikuläre Lösung der DGL mit der Formel:

$\begin{eqnarray*} \vec{y}_p=\phi\int\phi^{-1} b(x)dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi=\begin{pmatrix} 1 & e^{-4x} \\ 1 & -3e^{-4x} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b(x)=\binom{1}{1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig gerechnet habe erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} =\phi\int\binom{1}{\frac{3}{4}e^{4x}}dx \end{eqnarray*}$

Dies ausgerechnet erhalte ich für die partikuläre Lösung: $\begin{eqnarray*} \vec{y}_p=\binom{x+\frac{3}{16}}{x-\frac{9}{16}} \end{eqnarray*}$

Die allgemeine Lösung wäre dann:
$\begin{eqnarray*} \vec{y}=\vec{y}_H+\vec{y}_p=c_1\binom{1}{1}+c_2e^{-4x}\binom{1}{-3}+\binom{x+\frac{3}{16}}{x-\frac{9}{16}} \end{eqnarray*}$

Es kann durchauß sein das ich mich verrechnet habe. Was mir allerdings sehr viel wichtiger erscheint ob ich den Rechenweg verstanden habe.

Ist mein Rechenweg korrekt mit dem berechnen der homogenen Lösung und anschließend die Berechnung mit der Formel um die partikuläre Lösung zu erhalten?

Vielen Dank!!!

02.08.2016, 10:17

klarsoweit

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RE: DGL System
Die homogene Lösung ist ok, aber die partikuläre Lösung erfüllt nicht die DGL. verwirrt

02.08.2016, 10:25

yellowman

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RE: DGL System
Guten Morgen klarsoweit, handelt es sich dabei um einen Rechenfehler oder um einen konzeptionellen Fehler?
Falls ersteres würde ich mich nochmal an meine Berechnung setzen und schauen wo ich mich verrechnet habe.

Vielen Dank!!!

02.08.2016, 10:54

klarsoweit

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RE: DGL System
Ich würde eher auf einen Rechenfehler tippen. Leider fehlen wichtige Zwischenergebnisse, wie z. B. $\begin{eqnarray*} \phi^{-1} \end{eqnarray*}$ , so daß ich nicht alle Details nachvollziehen kann.

02.08.2016, 11:13

yellowman

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RE: DGL System
Ok, dann schreibe ich noch etwas mehr zu meinen Rechenweg.

$\begin{eqnarray*} \phi=\begin{pmatrix} 1 & e^{-4x} \\ 1 & -3e^{-4x} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Inverse Matrix lautet:

$\begin{eqnarray*} \phi^{-1}=\frac{1}{-3e^{-4x}-e^{-4x}}\begin{pmatrix} -3e^{-4x} & -e^{-4x} \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt und ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} \vec{y}_p=\phi\int\begin{pmatrix} 3/4 & 1/4 \\ 4e^{4x} & -\frac{1}{4}e^{4x} \end{pmatrix}\cdot\binom{1}{1}dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\phi\int\binom{1}{\frac{3}{4}e^{4x}}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 1 & e^{-4x} \\ 1 & -3e^{-4x} \end{pmatrix}\cdot\binom{x}{\frac{3}{16}e^{4x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{y}_p=\binom{x+3/16}{x-9/16} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank!!!

02.08.2016, 11:43

HAL 9000

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RE: DGL System

Zitat:

Original von yellowman
Eingesetzt und ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} \vec{y}_p=\phi\int\begin{pmatrix} 3/4 & 1/4 \\ {\color{red}4}e^{4x} & -\frac{1}{4}e^{4x} \end{pmatrix}\cdot\binom{1}{1}dx \end{eqnarray*}$

Tatsächlich? Statt 4 steht dort wohl eher 1/4.

02.08.2016, 11:48

klarsoweit

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RE: DGL System

Zitat:

Original von yellowman
$\begin{eqnarray*} =\phi\int\binom{1}{\frac{3}{4}e^{4x}}dx \end{eqnarray*}$

Und die 2. Komponente in dieser Zeile sieht dann auch anders aus. (Wobei 4 - 1/4 auch nicht 3/4 gewesen wäre.) Augenzwinkern

02.08.2016, 11:55

yellowman

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RE: DGL System
Jetzt habe ich nochmal die Inverse berechnet und komme dann auf: $\begin{eqnarray*} \vec{y}_p=\binom{x}{x} \end{eqnarray*}$

Damit lautet die Lösung:

$\begin{eqnarray*} \vec{y}=\vec{y}_H+\vec{y}_p=c_1\binom{1}{1}+c_2e^{-4x}\binom{1}{-3}+\binom{x}{x} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das passt nun.

Vielen Dank!!!

02.08.2016, 12:02

klarsoweit

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RE: DGL System
Das paßt. Man kann ja auch leicht nachrechnen, daß $\begin{eqnarray*} \vec{y}_p=\binom{x}{x} \end{eqnarray*}$ eine partikuläre Lösung ist. Augenzwinkern

02.08.2016, 12:10

yellowman

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RE: DGL System
Stimmt, da habe ich nicht dran gedacht. Eine Frage noch.

Ist das Vorgehen generell so das man bei inhomogenen DGL Systemen die homogene Lösung bestimmt mittels EW und EV und anschließend mit der Formel $\begin{eqnarray*} \vec{y}_p=\phi\int\phi^{-1}b(x)dx \end{eqnarray*}$ die partikuläre Lösung berechnet?
Die allgemeine Lösung ist dann $\begin{eqnarray*} \vec{y}=\vec{y}_H+\vec{y}_p \end{eqnarray*}$
Vielen Dank!!!

02.08.2016, 12:41

klarsoweit

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RE: DGL System
Es mag davon noch Abwandlungen geben, bei denen die Berechnung der Inversen vermieden wird, aber im Prinzip ist das das übliche Vorgehen. smile

02.08.2016, 12:50

yellowman

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RE: DGL System
Vielen Dank für deine Hilfe.

Bis zum nächsten mal! Wink

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