Polynomringe in n Variablen und entsprechende Koeffizientenringe |
| 02.08.2016, 14:51 | Freak123456 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Polynomringe in n Variablen und entsprechende Koeffizientenringe Die Aufgabe lautet: Zeigen Sie: Ist der Koeffizientenring eines Polynomrings in n Variablen ein Integritätsbereich bzw. ein ZPE-Ring, dann auch dieser Polynomring. Kann mir jemand bitte einen Denkanstoß für diesen Beweis geben? Meine Ideen: Ich habe leider noch keinen wirklichen Denkanstoß, da ich den Sinn des Beweises nicht ganz verstehe. Wenn ich beispielsweise in K[x,y] rechne, und damit Koeffizienten in einem Körper K habe, werden die Rechenregeln durch das rechnen mit Polynomen nicht wirklich geändert oder? Warum sollte sich dann die Eigenschaft ZPE-Ring bzw. Integritätsbereich ändern? Bitte um Hilfe! Danke |
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| 02.08.2016, 15:21 | Freak123456 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Polyonmringe in n Variablen und entsprechende Koeffizientenringe Nochmal ich 
Nachdem ich mich nun etwas belesen habe, bin ch auf Folgendes gestoßen:1) Wenn R ein Integritätsbereich ist, dann auch R[x1,...,xn] und jedes invertierbare Polynom in R[x1,...,xn] hat Grad 0. (2) Wenn R faktoriell ist, dann auch R[x1,...,xn]. Beweis: Induktion über n. n=1: Ist richtig wegen: Wenn R ein Integritätsbereich ist, dann ist auch R[x] ein Inte- gritätsbereich und alle invertierbaren Polynome haben den Grad 0 (Grund: Wenn R ein Integritätsbereich ist, dann ist gr(fg)=gr(f)+gr(g)und lk(fg)=lk(f)·lk(g)). Und Es sei K der Quotientenkörper des faktoriellen Ringes R. Wir fassen R[x] als Teilmenge von K[x]auf. (1) Es seien f ∈ R[x] und g,h∈K[x] so, dass f=g·h ist. Dann gibt es ein Element 0=c∈K so, dass c−1·g∈R[x], c·h∈R[x] und c·h primitiv ist. (2) Die Menge der irreduziblen Polynome in R[x] ist die Vereinigung der Menge der irreduziblen Elemente von R und der Menge der primitiven Polynome in R[x], die in K[x] irreduzibel sind. (3) Der Polynomring mit Koeffizienten in R ist faktoriell. n>1:R[x1,x2,...,xn]=R[x1,...,xn−1][xn], also folgt die Behauptung nach Induktionsannahme aus den oben genannten Fakten. Kann mir jemand den Induktionsbeweis etwas genazer aufschlüsseln? Danke! |
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| 02.08.2016, 19:10 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kannst Du den Beweis lesbarer gestalten ? gr heißt Grad des Polynoms, lk heißt Leitkoeffizient des Polynoms. Die wesentliche Arbeit ist anscheinend für n=1 zu leisten, der Induktionsschluß ist dann trivial. |
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| 02.08.2016, 22:50 | Freak123456 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja natürlich, tut mir leid! n=1: Ist richtig wegen: Wenn R ein Integritätsbereich ist, dann ist auch R[x] ein Integritätsbereich und alle invertierbaren Polynome haben den Grad 0 (Grund: Wenn R ein Integritätsbereich ist, dann ist gr(fg)=gr(f)+gr(g)und lk(fg)=lk(f)·lk(g)). Und Es sei K der Quotientenkörper des faktoriellen Ringes R. Wir fassen R[x] als Teilmenge von K[x]auf. (1) Es seien f R[x] und g,h K[x] so, dass f=g·h ist. Dann gibt es ein Element c (ungleich 0) K so, dass R[x], c·h R[x] und c·h primitiv ist. (2) Die Menge der irreduziblen Polynome in R[x] ist die Vereinigung der Menge der irreduziblen Elemente von R und der Menge der primitiven Polynome in R[x], die in K[x] irreduzibel sind. (3) Der Polynomring mit Koeffizienten in R ist faktoriell. n>1: R[x1,x2,...,xn]=R[x1,...,xn-1][xn], also folgt die Behauptung nach Induktionsannahme aus den oben genannten Fakten. Konkret bereitet mir der Teil "gr(fg)=gr(f)+gr(g)und lk(fg)=lk(f)·lk(g)" Probleme. Mir erschließt sich daraus nicht, warum daraus folgt, dass alle invertierbaren Polynome Grad 0 haben müssen. Weiters verstehe ich zwar die folgenden 3 Punkte an sich, nicht aber, warum daraus folgt, dass n=1 richtig ist. Danke für die Hilfe! 
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| 03.08.2016, 09:05 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Konkret: multipliziere zwei Polynome f und g vom Grad mindestens 1 so dass das Produkt fg=1 ist . Da wirst Du Grad-Probleme bekommen
Was ist ein primitives Polynom ? |
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| 03.08.2016, 11:49 | Freak123456 | Auf diesen Beitrag antworten » |
ah ja logisch 
oh mann...Danke
Wir haben gelernt, dass ein primitives Polynom in R[x] ein Polynom ist, dessen Koeffizienten sich nicht alle von einem irreduziblen Element in R teilen lassen (Also einfach gesagt "teilerfremd" sind, also jedes normierte Polynom in R[x] ist primitiv). In K[x] ist jedes Polynom primitiv (Vorausgesetzt es ist nicht das 0-Polynom). |
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| 03.08.2016, 19:54 | Freak123456 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Elvis ich habe mittlerweile den Beweis ausgearbeitet, bin mir beim letzten Schritt aber nicht ganz sicher, darf ich dir meine Ausarbeitung per pn schicken, dass du kurz drüber schaust, ob das eventuell so passen könnte? Wäre super
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| 03.08.2016, 19:58 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
darfst Du gerne machen, kann ich mir aber erst morgen ansehen. Hier einstellen, dann bin ich bestimmt morgen wieder hier, vielleicht vorher noch ein anderer... |
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| 03.08.2016, 21:24 | Freak123456 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen, vielen Dank
Also der Großteil (hoffe ich zumindest) müsste passen, aber der letzte Teil des Beweises (Satz 56(3) auf Seite 5) bereitet mir Probleme, da bin ich mir nicht ganz sicher, ob alles richtig interpretiert habe 
Wäre dir sehr dankbar, wenn du mir sagen könntest, ob ich diesen letzten Teil verstanden und richtig interpretiert habe
Ich darf leider keine Links im Text posten und das Dokument ist zu groß um es als Datei anzufügen, deshalb habe ich als Anhang den Link zum Dokument beigefügt, hoffe das passt und ist nicht mit zu viel Aufwand verbunden |
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| 04.08.2016, 09:11 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da komme ich nicht ran. Warum machst Du einen Screenshot ? Schreibe die Adresse einfach auf, das geht ... ... der Beweis steht jetzt hier allen zur Verfügung : https://www.dropbox.com/s/nndusl674x4g8a...eitung.pdf?dl=0 Anmerkung: Der "Satz von Gauß", und der Beweis, so wie er in "Siegfried Bosch, Algebra, Springer Verlag" geführt wird, erscheint mir etwas deutlicher. |
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