Runge Kutta DGL höherer Ordnung

03.08.2016, 16:23	Punkbuster1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Runge Kutta DGL höherer Ordnung Meine Frage: Hallo ich habe folgende Aufgabe an der Ich nicht weiter komme. $\begin{eqnarray} t^{2}y''-ty'+2y-t^{2}ln(t) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(t=1)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'(t=1)=0 \end{eqnarray}$ Ich soll die DGL in eine DGL erster Ordnung überführen. Und anschliessend mit dem Runge Kutta Verfahren lösen. Meine Ideen:* Bisher habe ich: $\begin{eqnarray} y_{1} = y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_{2} = y' \end{eqnarray}$ und nach y'' umgestellt: $\begin{eqnarray} y'' = ln(t) + \frac{y'}{t} - \frac{2y}{t^{2} } \end{eqnarray}$ mit der Substitution : $\begin{eqnarray} y_{2}' = ln(t) + \frac{y_{2}}{t} - \frac{2y_{1} }{t^{2} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} y \\ y' \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} y_{1}' \\ ln(t)+\frac{y_{2}}{t} -\frac{2y_{1} }{t^{2} } \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt weiss ich aber nicht weiter. Wie soll ich hier ein numerisches Verfahren anweden ? (In dem Fall Das RungeKuttaVerfahren?) Vielen Dank im Vorraus MFG
04.08.2016, 09:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Viele Einschrittverfahren werden unter dem Oberbegriff Runge-Kutta zusammengefasst - ich nehme mal an, du meinst das klassische Verfahren, also RK4 ? Nun, du kannst ganz wie beschrieben vorgehen, im vorliegenden Fall für Dimension $\begin{align} d=2 \end{align}$ : D.h., man hat dann (mit den Bezeichnungen des Wikipedia-Artikels) eine DGL $\begin{align} y'(t)=f(t,y(t)) \end{align}$ , mit $\begin{align} y:\;\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2 \end{align}$ und $\begin{align} f:\;\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2 \end{align}$ , mit Komponenten $\begin{align} y=(y_1,y_2) \end{align}$ sowie $\begin{align} f=(f_1,f_2) \end{align}$ geschrieben also $\begin{align} y_1'(t) &= f_1(t,y_1(t),y_2(t))\\ y_2'(t) &= f_2(t,y_1(t),y_2(t)) \end{align}$ , in deinem Fall nun mit $\begin{align} y_1=y,y_2=y' \end{align}$ und somit $\begin{align} f_1(t,y_1,y_2) &= y_2\\ f_2(t,y_1,y_2) &= \ln(t) + \frac{y_2}{t} - \frac{2y_1}{t^2} \end{align}$ . Ansonsten "durchziehen" wie dort in Wiki beschrieben. Zu beachten ist, dass die $\begin{align} u_i,k_i \end{align}$ und demzufolge auch $\begin{align} \Phi \end{align}$ alles zweidimensionale Vektoren sind, während die Argumente $\begin{align} t_i \end{align}$ sowie Schrittweite $\begin{align} h \end{align}$ nach wie vor normale reelle Zahlen sind.
04.08.2016, 12:20	Punkbuster	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss dann also die Gleichung f2 benutzen: $\begin{eqnarray} k1 = f(t_{i} ; u_{i} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k1 = (ln(1)+\frac{0}{1}+\frac{20}{1^{2} } ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k1 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k2 = f(t_{i}+\frac{h}{2} ; u_{i}+\frac{h}{2}k_{1}) \end{eqnarray}$ ... aber was setzt ich hier für $\begin{eqnarray} u_{i} \end{eqnarray}$ ein ? $\begin{eqnarray} y(t=1)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'(t=1)=0 \end{eqnarray}$ ? Schrittweite war in meinem Beispiel 0,1 MFG
04.08.2016, 12:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hörst nicht zu: $\begin{align} k_i \end{align}$ und $\begin{align} u_i \end{align}$ sind auch zweidimensionale Vektoren. Startvektor zu $\begin{align} t_0=1 \end{align}$ ist hier $\begin{align} u_0 = (y_1(1),y_2(1)) = (y(1),y'(1)) = (0,0) \end{align}$ .
04.08.2016, 13:07	Punkbuster	Auf diesen Beitrag antworten »
Hä wie soll ich ich da jetzt ein Vektor in die Formel für K1, K2, K3 und K4 einsetzen ?
04.08.2016, 13:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich jetzt das Rechnen mit Vektoren erklären, d.h. "Addition/Subtraktion/Multiplikation mit Skalar" ? Dafür bin ich der falsche Helfer. Ein anderer darf gerne ran. EDIT: Ok, ein letzter Versuch noch: $\begin{align} k_1 = f(t_i,u_i) \end{align}$ bedeutet komponentenweise $\begin{align} k_{1,1} &= f_1(t_i,u_{i,1},u_{i,2})\\ k_{1,2} &= f_2(t_i,u_{i,1},u_{i,2}) \end{align}$ $\begin{align} k_2 = f\left(t_i+\frac{h}{2},u_i+\frac{h}{2}k_1\right) \end{align}$ bedeutet komponentenweise $\begin{align} k_{2,1} &= f_1\left(t_i+\frac{h}{2},u_{i,1}+\frac{h}{2}k_{1,1},u_{i,2}+\frac{h}{2}k_{1,2}\right)\\ k_{2,2} &= f_2\left(t_i+\frac{h}{2},u_{i,1}+\frac{h}{2}k_{1,1},u_{i,2}+\frac{h}{2}k_{1,2}\right) \end{align}$ usw.
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