Krümmungsradien Zernike-Fläche

03.08.2016, 17:19	beecksche	Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmungsradien Zernike-Fläche Hi, ich habe eine Fläche die mit einem Kegelschnitt und zusätlichen Zernike-Polynomen beschrieben wird. Bei dieser Fläche möchte ich in radialer Richtung die Krümmungen bzw. Krümmungsradien berechnen. Die Fläche ist folgendermaßen derfiniert: $\begin{eqnarray} z(r, \phi) = \frac{cr}{1+\sqrt{1-(1+k)c^2r^2}} + \sum_{i=0}{A_iZ_i(\rho,\phi)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ als Krümmung des Kegelschnitts, $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ als konische Konstante, $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ Zernike Koeffizient, $\begin{eqnarray} Z_i \end{eqnarray}$ als Zernike Polynom und $\begin{eqnarray} \rho = r / r_{max} \end{eqnarray}$ Die Zernike Polynome sind definiert: $\begin{eqnarray} Z_i(\rho, \phi) = N_n^m \cdot T^m(\phi) \cdot R_n^m (\rho) \end{eqnarray}$ Mit der Umrechnung der Indizies: $\begin{eqnarray} n = \lfloor \sqrt{2i+1} +0.5 \rfloor -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} m = 2i-n(n+2) \end{eqnarray}$ Mit der Normalisierung N: $\begin{eqnarray} N_n^m=\sqrt{ \frac{2(n+1)}{1+\delta_{m0}}} \end{eqnarray}$ Der tangentialen Komponente T: $\begin{eqnarray} T^m(\phi) = \begin{cases}\cos{\|m\|\phi} \text{ , wenn } m \geq 0 \\ \sin{\|m\|\phi} \text{ , sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$ und der radialen Komponente R: $\begin{eqnarray} R_n^m(\rho) = \sum_{k=0}^{(n-\|m\|) / 2} \frac{(-1)^k(n-k)!\rho^{n-2k}}{k!(0.5(n+m)-k)!(0.5(n-m)-k)!} \end{eqnarray}$ Die Krümmung $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ bzw. den Krümmunsradius kann wie folgt berechnet werden: $\begin{eqnarray} \kappa = \frac{z''}{(1+(z')^2)^{3/2} } \end{eqnarray}$ Ich komme somit auf folgende Ableitungen meiner Flächenfunktion: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dr} z(r,\phi) = \frac{cr}{\sqrt{1-c^2 (k+1) r^2}} + \sum_{i=0}{A_iN_n^mT^m(\phi) \frac{d}{dr}R_n^m(\rho) } \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{d}{dr}R_n^m(\rho) = \sum_{k=0}^{(n-\|m\|) / 2} \frac{(-1)^k(n-k)!(n-2k)\rho^{n-2k - 1}}{k!(0.5(n+m)-k)!(0.5(n-m)-k)!} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{d^2}{dr^2} z(r,\phi) = \frac{c}{(1-c^2 (k+1) r^2)^{3/2}} + \sum_{i=0}{A_iN_n^mT^m(\phi) \frac{d^2}{dr^2}R_n^m(\rho) } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{d^2}{dr^2}R_n^m(\rho) = \sum_{k=0}^{(n-\|m\|) / 2} \frac{(-1)^k(n-k)!(n-2k - 1)\rho^{n-2k - 2}}{k!(0.5(n+m)-k)!(0.5(n-m)-k)!} \end{eqnarray}$ Wenn die Zernike Koeffizieten $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ ungleich 0 sind, erhalte ich falsche Krümmungen. Habe ich etwas vergessen? Muss ich bei $\begin{eqnarray} \rho = r/r_{max} \end{eqnarray}$ etwas berüchstigten?
04.08.2016, 13:05	beecksche	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe einige Fehler gefunden: zum einen Stimmen meine Ableitungen nicht und zum anderen, wie ich bereits vermutet habe, muss ich $\begin{eqnarray} \rho = r \ r_{max} \end{eqnarray}$ berücksichtigen! Funktioniert aber nun so wie ich es wollte!

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