Beweis mit Induktion

04.08.2016, 10:40

yellowman

Beweis mit Induktion

Hallo zusammen, ich habe die DGL $\begin{eqnarray*} y'-2xy=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$ gegeben und diese soll mittels Potenzreihenansatz gelöst werden.

Auf die rekursive Darstellung bin ich gekommen. $\begin{eqnarray*} a_{2n}=\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ und damit lautet die Lösung $\begin{eqnarray*} y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n!} \end{eqnarray*}$

Es soll noch der Beweis geführt werden das $\begin{eqnarray*} a_{2n}=\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ ist. Hier hapere ich am Induktionsschritt. Ich bin dabei folgendermaßen vorgegangen.

I.A. Für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a_0=1=\frac{1}{1!} \end{eqnarray*}$ das passt.

I.V. Für ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a_{2n}=\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

I.S. $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{2n+2}=\frac{1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!(n+1)} \overset{\text{I.V.}}{\underset{\text{}}{=}}\frac{1}{(n+1)}a_{2n} \end{eqnarray*}$

Hier weiß ich nicht weiter. Hat jemand eine Idee?

Vielen Dank!!!

04.08.2016, 10:58

HAL 9000

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RE: Beweis mit Induktion

Zitat:

Original von yellowman
$\begin{eqnarray*} a_{2n+2}=\frac{1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!(n+1)} \overset{\text{I.V.}}{\underset{\text{}}{=}}\frac{1}{(n+1)}a_{2n} \end{eqnarray*}$

Aus meiner Sicht eine unlogische Reihenfolge der Darstellung. Aus dem Potenzreihenansatz ergibt sich ja wohl der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} a_{2n+2} = \frac{1}{(n+1)}a_{2n} \end{eqnarray*}$ . Mit dem würde man daher im Induktionsschritt starten, DANACH kommt die Induktionsvoraussetzung zum Tragen, und dann erst werden die Fakultäten zusammengefasst, d.h.

$\begin{eqnarray*} a_{2n+2} = \frac{1}{(n+1)}a_{2n} \stackrel{I.V.}{=} \frac{1}{(n+1)\cdot n!} = \frac{1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$ ,

damit ist der Induktionschritt komplett, denn der Term rechts war ja zu beweisen.

04.08.2016, 11:50

yellowman

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Hallo Hal9000, vielleicht bin ich einfach zu doof aber wieso gilt mit dem Potenzreihenansatz der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} a_{2n+2}=\frac{1}{(n+1)}a_{2n} \end{eqnarray*}$ ?
Den habe ich doch erst durch das Ersetzen von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ erhalten...

Vielen Dank!!!

04.08.2016, 11:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von yellowman
aber wieso gilt mit dem Potenzreihenansatz der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} a_{2n+2}=\frac{1}{(n+1)}a_{2n} \end{eqnarray*}$ ?

Das ist doch DEINE Vorarbeit, oder etwa nicht? Was hast du denn vorher mit dem Potenzreihenansatz gemacht, wenn nicht das!

Ich bin da (bisher) nicht näher drauf eingegangen, weil ich nach dem Thread eigentlich der Meinung war, dass du grundsätzlich diese Technik beherrschst. verwirrt

04.08.2016, 13:45

yellowman

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Ich erhalte mittels Potenzreihenansatz:

$\begin{eqnarray*} a_1+\sum_{n=1}^{\infty}[a_{n+1}(n+1)-2a_{n-1}]x^n=0 \end{eqnarray*}$

Das heißt $\begin{eqnarray*} a_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{2a_{n-1}}{n+1} \end{eqnarray*}$

Das Vorgehen ist doch nun für $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ eine Bildungsvorschrift zu ermitteln indem man sich einige Glieder der rekursiven Vorschrift anschaut.

Es wird deutlich das für $\begin{eqnarray*} a_{2n+1}=0 \end{eqnarray*}$ gilt und für $\begin{eqnarray*} a_{2n}=\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ gilt. Das habe ich durch ausprobieren ermittelt. Ich sehe nicht wie du nun auf den angegeben Zusammenhang kommst.

Vielen Dank!!!

04.08.2016, 13:51

HAL 9000

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Vergessen wir mal nicht $\begin{align*} a_0=y(0)=1 \end{align*}$ .

Wir haben also $\begin{align*} a_0=1,a_1=0 \end{align*}$ sowie (indexverschoben) $\begin{align*} a_{n+2} = \frac{2a_n}{n+2} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq 0 \end{align*}$ .

Aus $\begin{align*} a_1=0 \end{align*}$ folgt sofort $\begin{align*} a_n=0 \end{align*}$ für alle ungeraden $\begin{align*} n \end{align*}$ .

Für gerade $\begin{align*} n=2k \end{align*}$ bedeutet die Rekursion $\begin{align*} a_{2k+2} = \frac{2a_{2k}}{2k+2} \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} a_{2(k+1)} = \frac{a_{2k}}{k+1} \end{align*}$ , und das ist es, was du im Induktionsschritt einsetzt!

Nochmal vom Kopf auf die Füße: Die Argumentationsreihenfolge ist

1) Potenzreihenansatz
2) Einsetzen in DGL liefert rekursiven Zusammenhang der Koeffizienten
3) Explizite Darstellung der Koeffizienten: Beweis mit Vollständiger Induktion unter Nutzung von 2).

Oder welche Sicht der Dinge hast du? verwirrt

Zitat:

Original von yellowman
und für $\begin{eqnarray*} a_{2n}=\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ gilt. Das habe ich durch ausprobieren ermittelt.

Kann ja sein - und der Beweis geschieht eben mit der o.g. Induktion.

04.08.2016, 14:18

yellowman

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Gut, ich habe es vermutlich nun etwas tiefer verstanden. Es geht darum die rekursive Bildungsvorschrift so anzupassen, dass man jeweils die gerade und die ungeraden Ausdrücke erhält.
Falls noch eine Frage auftaucht werde ich mich nochmal melden.

Vielen Dank!!!

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