Polynom in Hornerschema angeben

04.08.2016, 11:19

Lisa944

Polynom in Hornerschema angeben

Meine Frage:
Guten Morgen,

ich habe eine Frage bezüglich der Angabe von Polynomen in Form des Horner-Schemas.

Sagen wir mal wir hätten das Polynom:
$\begin{eqnarray*} p(x) = 50 x^5 + 4 x^4 + 3 x^3 +2 x^2 + x +1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich werde nämlich aus der Definition nicht ganz schlau:

$\begin{eqnarray*} p(x)= (\dotso ( b_n x + b_{n-1} )x + \dotsb )x + b_0 \end{eqnarray*}$

Ich habe mir als Beispiel dann dieses:
$\begin{eqnarray*} 11 + 7x - 5x^2 -4x^3 + 2x^4 \;=\; 11 + x \cdot\left(7 + x \cdot(-5 + x \cdot(-4 + x \cdot 2))\right) \end{eqnarray*}$

Hätte ich dann für:
$\begin{eqnarray*} 50 x^5 + 4 x^4 + 3 x^3 +2 x^2 + x +1 = 1+x (1+x(2+x(3 + x(4 + x(50 + x))))) \end{eqnarray*}$

Wäre das so richtig?

Grüße Lisa

04.08.2016, 11:28

HAL 9000

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RE: Polynom in Hornerschema angeben

Zitat:

Original von Lisa944
$\begin{eqnarray*} 50 x^5 + 4 x^4 + 3 x^3 +2 x^2 + x +1 = 1+x (1+x(2+x(3 + x(4 + x(50 + x))))) \end{eqnarray*}$

Das letzte x ist zuviel, richtig ist

$\begin{eqnarray*} 50 x^5 + 4 x^4 + 3 x^3 +2 x^2 + x +1 = 1+x (1+x(2+x(3 + x(4 + x50)))) \end{eqnarray*}$ .

Dein Term entspricht

$\begin{eqnarray*} x^6 + 50 x^5 + 4 x^4 + 3 x^3 +2 x^2 + x +1 = 1+x (1+x(2+x(3 + x(4 + x(50 + x))))) \end{eqnarray*}$

04.08.2016, 13:53

Dopap

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RE: Polynom in Hornerschema angeben

Zitat:

Original von HAL 9000
[...]
$\begin{eqnarray*} 50 x^5 + 4 x^4 + 3 x^3 +2 x^2 + x +1 = 1+x (1+x(2+x(3 + x(4 + x50)))) \end{eqnarray*}$ .
[...]

bei absteigenden Potenzen schreibt man meist:

$\begin{eqnarray*} 50 x^5 + 4 x^4 + 3 x^3 +2 x^2 + x +1 = ((((50x+4)x+3)x+2)x+1)x+1 \end{eqnarray*}$

man beachte aber z.B. auch:

$\begin{eqnarray*} 8x^5 + 4 x^4 + 7x +11 = ((8x+4)x^3+7)x+11 \end{eqnarray*}$

04.08.2016, 13:57

HAL 9000

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RE: Polynom in Hornerschema angeben

Zitat:

Original von Dopap
bei absteigenden Potenzen schreibt man meist

Wie der alte Fritz zu sagen pflegte: Jeder nach seiner Fasson... Big Laugh

04.08.2016, 14:13

Dopap

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nach meiner Reha bin ich froh, wenigstens gelegentlich noch eine wenig anspruchsvolle post schicken zu können Augenzwinkern

04.08.2016, 18:20

Lisa944

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RE: Polynom in Hornerschema angeben
Hallöchen,

stimmt danke für die Bemerkungen. Wie würde ich denn die Anzahl der notwendigen Multiplikationen für die Auswertung der Orginalgleichung und für das zugehörige Horner-Schema berechnen?

Sagen wir mal für $\begin{eqnarray*} f(x) = x^4 -3x^2+x^2-4 x +3 \end{eqnarray*}$

Wäre ja das Hornerschema aufsteigend :P
$\begin{eqnarray*} x^4 -3x^2+x^2-4 x +3 = 3 + x(-4 + x(1 + x(-3 +x)))) \end{eqnarray*}$

Bzw. absteigend Big Laugh

$\begin{eqnarray*} x^4 -3x^2+x^2-4 x +3 = ((((x-3)x + 1)x + -4)x +3 \end{eqnarray*}$

Was ist aber jetzt genau bei der Aufgabestellung gemeint?
Also wenn die Aufgabestellung lauten würde: Berechnen Sie für $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ die Anzahl der notwendigen Multiplikationen für die Auswertung der Orginalgleichung und für das zugehörige Horner-Schema.

Danke,

Lisa

PS: Gute Besserung Dopap!

04.08.2016, 19:19

Dopap

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eine Aufgabe kann ich nicht erkennen. Ein Polynom $\begin{eqnarray*} p(x)=\sum_{k=0}^n b_k x^k \end{eqnarray*}$ hat in Horner Darstellung im wesentlichen n Multiplikationen und n Additionen. Funktioniert auch mit einem Haushaltstaschenrechner (Multiplikator ist konstant !) prächtig.
Das schlägt die Potenz Darstellung zeitlich um Längen.

Viel wichtiger: ist p(x0)=0 , dann erzeugt das Hornerschema als Nebenprodukt Koeffizienten und damit ein Polynom q(x) das dem Ergebnis der Polynomdivision von p(x) mit (x-x0) gleichkommt. smile

siehe auch: https://www.youtube.com/watch?v=tMehEcEsRsY

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