Ellipse durch x/y-Punkte fitten

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DerZyklope Auf diesen Beitrag antworten »
Ellipse durch x/y-Punkte fitten
Hallo Zusammen

Aus einer Bildauswertung habe ich 15 Punkte (x/y) die auf einer Ellipse liegen sollten. Das Ziel ist es, die Masse der beiden Halbachsen der Ellipse zu bestimmen. Die Ellipse hat folgende (alle) Freiheitsgrade:
-x0: Verschiebung in x
-y0: Verschiebung in y
-a: Länge der Halbachse
-b: Länge der Hablachse b
-c: Rotation um den Winkel c

Folgende 2 Ideen hatte ich verfolgt:

1)Parametrisierter Ansatz der Ellipse (Laufvariable t):
x(t)=x0 + a*cos(t)*cos(c) - b*sin(t)*sin(c)
y(t)=y0 + a*cos(t)*sin(c) + b*sin(t)*cos(c)
Bei diesem Ansatz habe ich das Problem, dass ich nicht weiss, wie ich den kleinsten Abstand von einem Punkt (x/y) zur Ellipse berechnen kann. Diesen Abstand benötige ich, um die Summe aller quadrierten Abstände zu minimieren. Hier stellt sich zusätzlich die Frage, ob der minimale Abstand oder der Abstand in y-Richtung minimiert werden soll.

2)Expliziter Ansatz der Ellipse
Bei diesem weiss ich nicht, wie die Rotation berücksichtigt werden kann... Die Freiheitsgrade x0, y0, a und b wird bekannterweise mit folgendem Ansatz berücksichtigt:


Kann mir jemand Tips geben, wie ich die beiden Ansätze weiter verfolgen kann? Oder einen weiteren einfacheren Ansatz geben?

Vielen Dank für eure Unterstützung,

DerZyklope
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ellipse durch x/y-Punkte fitten
eine Ellipse in allgemeiner Lage ist - so weit ich weiß - durch 5 Punkte bestimmt.
du mußt also vermutlich auch eine Ausgleichsrechnung "anhängen" Augenzwinkern
 
 
DerZyklope Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ellipse durch x/y-Punkte fitten
Hallo riwe

Bin auch zum Schluss gekommen, dass eine Ellipse in allgemeiner Lage durch 5 Punkte bestimmt ist. Dass ich eine Art Ausgleichsrechnung benötige ist mir bewusst. Diese gedenke ich mit der Zielwertsuche im Excel durchzuführen.

Dafür benötige ich eine Ellipse in allgemeiner Lage, zu der ich die Distanzen der einzelnen Messpunkte berechne. Durch Variationen der Ellipse (mittels automatischer Zielwertsuche der 5 Freiheitsgrade der Ellipse) soll der summierte Abstand^2 aller Punkte minimiert werden.

So der Plan. Mein Status und wo ich anstehe ist im ersten Post beschrieben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DerZyklope
1)Parametrisierter Ansatz der Ellipse (Laufvariable t):
x(t)=x0 + a*cos(t)*cos(c) - b*sin(t)*sin(c)
y(t)=y0 + a*cos(t)*sin(c) + b*sin(t)*cos(c)
Bei diesem Ansatz habe ich das Problem, dass ich nicht weiss, wie ich den kleinsten Abstand von einem Punkt (x/y) zur Ellipse berechnen kann.

D.h., du suchst zu gegebenen Punkt sowie den gegebenen Parametern ("gegeben" in dem Sinne, dass du einen aktuellen Stand im laufenden Iterationsverfahren hast) einen Wert , der die Funktion



minimiert - versteh ich das richtig? Und diese Abstandsquadrate über alle gegebenen Punkte summiert soll dann hinsichtlich minimal werden, was dann die optimal angepasste Ellipse ist?

Klingt nach einem guten Plan.


EDIT: Weg 2 klingt aber auch interessant, vor allem da sich die Koeffizienten wohl direkt mit einem Linearen Modell schätzen lassen! D.h., man würde erst sein Koordinatensystem (bzw. die darin liegenden gegebenen Punkte) um einen festen Winkel c drehen, dann die Koeffizienten gemäß linearem Modell schätzen und die zugehörige Quadratabstandssumme merken. Das versucht man nun für verschiedene Winkel, im Sinne MKQ... nicht ausgereift, aber man könnte was in der Richtung probieren.
DerZyklope Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 90000

Hab nun den "Parametrisierten Ansatz" gewählt und im Excel umgesetzt. Bracht zwar 2 Minuten für die Berechnung aber ist für meinen Fall noch okee.

Vielen Dank, DerZyklope
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DerZyklope
Hallo HAL 90000

vielen Dank, DerZyklope


das ist hoffentlich ein Beförderung Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Beförderung? Na unbedingt: In der 10fachen Größe kann ich ein 10mal so großes Raumschiff steuern, und damit auch 10mal so viele Besatzungsmitglieder im Dienste der Mission terminieren. Also macht euch auf was gefasst, all ihr Aufgabentextverstümmeler, Klammerignoranten, Potenzgesetzfalschanwender, Ungleichungsnichtäquivalentumformer, ... Teufel
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