Eingeschlossene Fläche

04.08.2016, 13:45

OnFirE1337

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Eingeschlossene Fläche

Hallo nochmal,
Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie die eingeschlossene Fläche mit $\begin{eqnarray*} f(x)= 4+e^{-\frac{|x|}{2} } , g(x)= e^{\frac{|x|}{2} } -6 \end{eqnarray*}$
[attach]42441[/attach]

Wie man vorgehen müsste ist ja
-man setzt die funktionen gleich und rechnet x aus
-x Werte werden dann als Integrationsgrenzen eingesetzt und dann $\begin{eqnarray*} \int_{x_{1} }^{x_{2}} \! f(x)-g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

allerdings komme ich beim gleichsetzten auf $\begin{eqnarray*} |x| = ln(10) \end{eqnarray*}$

In der Lösung steht aber Grenzpunkte A = (-a,b) ; B= (a,b)
$\begin{eqnarray*} A = 4(2+5a-e^{-\frac{|a|}{2} }-e^{\frac{|a|}{2} } ) \end{eqnarray*}$

Wie komme ich denn überhaupt auf die substitution von x auf a??

Vielen Dank im Vorraus!

04.08.2016, 14:20

willyengland

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RE: Eingeschlossene Fläche

Zitat:

allerdings komme ich beim gleichsetzten auf $\begin{eqnarray*} |x| = ln(10) \end{eqnarray*}$

Da hast du wohl geteilt gerechnet, wo du die e-Funktionen subtrahieren musst?

Es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} 10*e^{x/2}-e^x+1 = 0 \end{eqnarray*}$

Keine Ahnung, wie man das löst. Experten, bitte!

04.08.2016, 14:25

HAL 9000

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Zuerst mal würde ich mich des ganzen Betragszeugs entledigen, indem ich aufgrund der Symmetrie des Problems nur die Fläche rechts der y-Achse berechne, und am Ende verdopple. Es geht also um

$\begin{align*} \frac{A}{2} = \int\limits_0^a (f(x)-g(x)) ~ \dd x = \int\limits_0^a \left(10+e^{-\frac{x}{2}}-e^{\frac{x}{2}} \right) ~ \dd x = \int\limits_0^a \left(10-2\sinh\left( \frac{x}{2}\right) \right) ~ \dd x \end{align*}$

wobei für den rechten Randpunkt $\begin{align*} a \end{align*}$ die Gleichung $\begin{align*} 10-2\sinh\left( \frac{a}{2}\right) = 0 \end{align*}$ erfüllt sein muss, also $\begin{align*} a = 2\cdot \operatorname{arsinh}(5) \approx 4.62 \end{align*}$ .

04.08.2016, 14:30

Steffen Bühler

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... und wenn die hyperbolischen Funktionen nicht konvenieren, hilft die Substitution $\begin{align*} z=e^{ \frac x2} \end{align*}$ .

Viele Grüße
Steffen

04.08.2016, 14:35

OnFirE1337

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$\begin{eqnarray*} 4+e^{-\frac{|x|}{2} }= e^{\frac{|x|}{2} } -6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10= e^{\frac{|x|}{2} } -e^{-\frac{|x|}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(10)={\frac{|x|}{2} } +{\frac{|x|}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(10)=|x| \end{eqnarray*}$

was meinst du genau ?

04.08.2016, 14:36

klarsoweit

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RE: Eingeschlossene Fläche

Zitat:

Original von OnFirE1337
In der Lösung steht aber Grenzpunkte A = (-a,b) ; B= (a,b)
$\begin{eqnarray*} A = 4(2+5a-e^{-\frac{|a|}{2} }-e^{\frac{|a|}{2} } ) \end{eqnarray*}$

Und was diese Frage angeht, müßtest du mal die komplette Aufgabe mit originalem Text posten.

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04.08.2016, 14:42

OnFirE1337

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[attach]42442[/attach]

04.08.2016, 14:49

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von OnFirE1337
$\begin{eqnarray*} 10= e^{\frac{|x|}{2} } -e^{-\frac{|x|}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(10)={\frac{|x|}{2} } +{\frac{|x|}{2} } \end{eqnarray*}$

Aber nein. Logarithmengesetze!

Hast Du meinen Vorschlag mal ausprobiert?

04.08.2016, 14:58

HAL 9000

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Anmerkung
Was die Abszisse der Schnittpunkte A,B anbetrifft, ist die obige Zeichnung seltsam ungenau:

Sieht im Bild eher nach 4.2 statt dem richtigen 4.6 aus.

In allen anderen Aspekten stimmt die Zeichnung aber ganz gut, ist also vielleicht nur Verwirrungstaktik des Aufgabenstellers. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.08.2016, 15:00

OnFirE1337

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nein noch nicht, da das größte Problem für mich gerade ist zu verstehen wie ich in der Klausur darauf kommen soll wie HAL es versucht hat über eine positive seite zu integrieren von 0 bia a und dann zu verdoppeln, wobei ich immernoch nicht ganz verstehe in wie fern das die gleiche Lösung ergeben soll
$\begin{eqnarray*} 4(5a-2cosh(\frac{a}{2})+2 ) \end{eqnarray*}$ kenne hyperbolischen Funktionen nicht

ich gehe davon aus das $\begin{eqnarray*} -2cosh(\frac{a}{2}) = -e^{-\frac{a}{2} } -e^{\frac{a}{2} } \end{eqnarray*}$ sein soll aber, ehm ja....

04.08.2016, 15:02

klarsoweit

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RE: Eingeschlossene Fläche

Zitat:

Original von OnFirE1337
In der Lösung steht aber Grenzpunkte A = (-a,b) ; B= (a,b)
$\begin{eqnarray*} A = 4(2+5a-e^{-\frac{|a|}{2} }-e^{\frac{|a|}{2} } ) \end{eqnarray*}$

Da möchte ich den Aufgabensteller mal unter vier Augen sprechen. Die Variable A für die Bezeichnung eins Punktes und einer Fläche zu nehmen, ist etwas daneben.
Anscheinend möchte auch der Aufgabensteller auf die Bestimmung des exakten Schnittpunktes verzichten und nimmt einfach die Bezeichnung a als Schnittstelle. Von 0 bis a kann man ja trotzdem integrieren. smile

smile

04.08.2016, 15:10

OnFirE1337

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oh ja wegen dem logarithmus fehler $\begin{eqnarray*} ln(24)=|x| \end{eqnarray*}$
Das würde mich mit dem Standartweg (erst Grenzen ausrechnen, dann integrieren) auch nicht weiter bringen oder?

04.08.2016, 15:12

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von OnFirE1337
über eine positive seite zu integrieren von 0 bia a und dann zu verdoppeln, wobei ich immernoch nicht ganz verstehe in wie fern das die gleiche Lösung ergeben soll

Die Figur ist doch achsensymmetrisch. Halt mal die linke Hälfte der Fläche mit der Hand zu. Nun hast Du nur positive x-Werte, bei denen gilt |x|=x. Also darfst Du schon mal alle Betragsstriche wegradieren. Dann den Schnittpunkte der Funktionen mit meinen Tipp ausrechnen. Dann von Null bis dahin integrieren. Und dann eben verdoppeln.

Zitat:

Original von OnFirE1337
kenne hyperbolischen Funktionen nicht

Macht nichts, dann integrierst Du halt die e-Funktionen, wie Du's gelernt hast.

04.08.2016, 15:18

OnFirE1337

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Um ehrlich zu sein bin ich verwirrt auf so vielen Ebenen, ich weiss nicht mal richtig was ich am wenigsten verstehe an der Aufgabe. z.B eingehend auf die geschichte mit Symetrie und Betrag, das man dann z.b die rechte Seite integriert von 0 bis a...
was ist denn dann der punkt a?? Ich erkenne aus der Zeichnung einen Punkt A der symetrisch ist mit Punkt B die beide gestrichtelt zur x Ache zeigen. Und Ich weiss auch nicht warum man von 0 anfängt zu integrieren. 0 ist doch quasi das Zentrum der Zeichnung in in keinem Verhältnis ein Grenzpunkt für meine noob Augen

04.08.2016, 15:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von OnFirE1337
was ist denn dann der punkt a?

Die Schnittstelle a (bzw. -a) ist der x-Wert, wo sich die Funktionen f und g schneiden, wo also f(a) = g(a) gilt. Man kann den Wert von a exakt berechnen (siehe die Diskussionen oben). Aber anscheinend wollte der Aufgabensteller dir das ersparen. Zum Integrieren braucht man ja nicht unbedingt den exakten Wert. Man kann auch die Variable a nehmen. smile

smile

04.08.2016, 15:27

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von OnFirE1337
was ist denn dann der punkt a?

Der Schnittpunkt der Funktionen $\begin{align*} f(x)= 4+e^{-\frac{|x|}{2} } \end{align*}$ und $\begin{align*} g(x)= e^{\frac{|x|}{2} } -6 \end{align*}$ . Den erhältst Du durch Gleichsetzen:

$\begin{align*} 4+e^{-\frac{|x|}{2} }= e^{\frac{|x|}{2} } -6 \end{align*}$

Dann beherzige meinen Tipp, multipliziere danach auf beiden Seiten mit z, und schon steht eine schöne quadratische Gleichung da.

Zitat:

Original von OnFirE1337
Und Ich weiss auch nicht warum man von 0 anfängt zu integrieren.

Weil Mathematiker faul sind. Warum sollte ich mich mit schrecklichen Integralen von Betragsfunktionen rumschlagen, wenn ich sehe, dass ich die linke Hälfte weglassen kann?

04.08.2016, 15:28

OnFirE1337

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ah ok das erklärt schonmal warum man dann von 0 anfängt zu integrieren, verstehe!

Gehe ich jetzt am besten immer sofort zu dieser Methode über wenn ich Betragszeichen sehe oder eher sowas hässliches wie $\begin{eqnarray*} -e^{-\frac{|x|}{2} } -e^{\frac{|x|}{2} } \end{eqnarray*}$

anstelle von dem Standartweg : Grenzen ausrechnen -> integrieren innerhalb der Grenzen

04.08.2016, 15:32

Steffen Bühler

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Ja, sowas Hässliches schreit nach Substitution. Oder eben hyperbolischen Funktionen, aber wenn Du die noch nicht hattest, würde ich auch darauf verzichten.

EDIT: Und falls Du die Betragstriche meinst: ja, da schaut man erst mal, ob man die irgendwie durch Symmetriebetrachtungen wegkriegt. Wenn nicht, ist eine Fallunterscheidung angebracht. Aber die bleibt uns hier ja erspart.

04.08.2016, 15:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von klarsoweit
Zum Integrieren braucht man ja nicht unbedingt den exakten Wert. Man kann auch die Variable a nehmen.

Wenn man letztendlich aber eine konkrete reelle Zahl (statt nur einen Term in $\begin{align*} a \end{align*}$ ) für die Fläche haben will (was ich mal ganz naiv annehme), dann braucht man den Wert schon. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der obige Scan scheint mir daher nur den Anfang der Lösung wiederzugeben.

04.08.2016, 15:40

klarsoweit

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Immerhin einer, der mal auf meinen Beitrag reagiert. Big Laugh

Big Laugh

Die Aufgabe hat immerhin einen gewissen Interpretationsspielraum. Wie man am Threadverlauf sieht, wird viel Energie auf die Bestimmung des Schnittpunktes verpulvert und am Ende ist das gar nicht nötig. Da hilft nur eins: beim Aufgabensteller nachfragen.

04.08.2016, 15:45

OnFirE1337

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Zitat:

$\begin{align*} 4+e^{-\frac{|x|}{2} }= e^{\frac{|x|}{2} } -6 \end{align*}$

Dann beherzige meinen Tipp, multipliziere danach auf beiden Seiten mit z, und schon steht eine schöne quadratische Gleichung da

verstehe ich nicht genau wie multiplikation mit z eine quadratische Gleichung ergibt (sorry)

ich werde versuchen das alles sorgfälltig nochmal durch zugehen, vielen vielen Dank erstmal!

04.08.2016, 15:48

Steffen Bühler

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Mein Tipp war doch $\begin{align*} z=e^{ \frac x2} \end{align*}$ , vielleicht hast Du ihn ja nicht gelesen. Nun ersetze das in der Gleichung ganz stur.

EDIT Und bevor Du fragst: ja, es ist $\begin{align*} e^{- \frac x2}= \frac 1 {e^{\frac x2}} \end{align*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.08.2016, 15:55

willyengland

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
... und wenn die hyperbolischen Funktionen nicht konvenieren, hilft die Substitution $\begin{align*} z=e^{ \frac x2} \end{align*}$ .

Ah, natürlich, ...
das hätte ich schon sehen können, wie ich meine Gleichung da oben hingeschrieben habe!

Man erhält dann:

$\begin{eqnarray*} x=2* ln(5 + \sqrt{26}) \approx 4,625 \end{eqnarray*}$

04.08.2016, 15:58

OnFirE1337

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$\begin{eqnarray*} 0 = z - \frac{1}{z} -10 \end{eqnarray*}$ so?

04.08.2016, 16:01

Steffen Bühler

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Perfekt! Und dann wie gesagt, mit z durchmultiplizieren, quadratische Gleichung lösen, resubstituieren. Kollege Willy hat netterweise die Lösung schon hingeschrieben.

04.08.2016, 16:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von willyengland
Man erhält dann:

$\begin{eqnarray*} x=2* ln(5 + \sqrt{26}) \approx 4,625 \end{eqnarray*}$

Was im übrigen dem Wert $\begin{align*} 2\operatorname{arsinh}(5) \end{align*}$ entspricht, sofern die hyperbolischen Funktionen "konvenieren" (ich alte Kulturbanause hab das nicht in meinem aktiven Wortschatz). Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.08.2016, 16:29

OnFirE1337

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okay jetzt klappt alles vielen Dank an alle!

Eine kleine Frage noch :

Da in Der quadratischen Gleichung mit z $\begin{eqnarray*} 5\pm \sqrt{26} \end{eqnarray*}$ rauskommt, und von x logischerweise Betrag gefordert wird, da man sonst auch in dem 2.Fall math error erzeugt beim logarithmieren, kann man dann davon ausgehen dass der errechnete x-wert die Obergrenze und weil kein anderer Wert zu Verfügung steht 0 die Untergrenze sein muss?

04.08.2016, 16:32

Steffen Bühler

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So ist es. Wir brauchen nur die reelle Lösung der Gleichung, die andere ist komplex und bleibt es auch beim Resubstituieren.

Viele Grüße
Steffen

04.08.2016, 16:35

OnFirE1337

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danke <3

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