Unterraum und Erzeugendensystem

05.08.2016, 14:30

Desogude

Unterraum und Erzeugendensystem

Ich habe ein paar Fragen zur folgender Aufgabe:

[attach]42449[/attach]

Das M linear abhängig ist habe ich gezeigt. Um nun zu begründen ob M ein EZS ist, muss ich lediglich zeigen oder nicht zeigen, dass es einen vektor gibt z.B $\begin{eqnarray*} v_5 \end{eqnarray*}$ der sich als linearkombination der anderen darstellen lässt. Somit hätte ich dann gezeigt, dass die restlichen vier vektoren ein EZS bilden, richtig ?

Zur b) um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ kein Unterraum von V ist, muss ich widerrum zeigen, dass es ein Element gibt welches sich nicht als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ darstellen lässt und somit kein Unterraum ist, da ja per Definition ein EZS ein Unterraum bildet, richtig ?

und das selbe nur umgedreht mit der zweiten Teilaufgabe.

Hoffe ich habe das so richtig verstanden oder gibt es eine bessere Herangehensweise bzw. begründung?

Danke für die Hilfe

Mir ist noch was eingefallen:

Darf ich , falls ich eine Lineare hülle gegeben habe und die Frage auftaucht, ob es ein Unterraum ist, immer damit argumentieren, dass per Defintion ein EZS ein Unterraum bildet?

05.08.2016, 14:52

klarsoweit

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RE: Unterraum und Erzeugendensystem

Zitat:

Original von Desogude
Das M linear abhängig ist habe ich gezeigt. Um nun zu begründen ob M ein EZS ist, muss ich lediglich zeigen oder nicht zeigen, dass es einen vektor gibt z.B $\begin{eqnarray*} v_5 \end{eqnarray*}$ der sich als linearkombination der anderen darstellen lässt.

Hm. Du mußt doch eher zeigen, daß sich jeder Vektor des R^4 aus den Vektoren der Menge M erzeugen läßt.

Zitat:

Original von Desogude
Zur b) um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ kein Unterraum von V ist, muss ich widerrum zeigen, dass es ein Element gibt welches sich nicht als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ darstellen lässt und somit kein Unterraum ist, da ja per Definition ein EZS ein Unterraum bildet, richtig ?

Leider hast du da den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \langle v_1 \rangle \cup \langle v_2 \rangle \end{eqnarray*}$ falsch interpretiert. Es handelt sich um die Vereinigung der Mengen, die von v_1 bzw. v_2 aufgespannt werden.

05.08.2016, 15:51

Desogude

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Reicht es nicht zu zeigen, dass sich z.B $\begin{eqnarray*} v_5 \end{eqnarray*}$ als linearkombination der restlichen darstellen lässt und diese wiederrum eine Basis des Raumes bilden. Dann kann ich damit argumentieren, dass jede Erweiterung einer Basis immernoch ein Erzeugendensystem ist ? Und somit M ein EZS bildet.

Wie soll ich denn bei der zweiten Teilaufgabe argumentieren ?

05.08.2016, 17:18

Desogude

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Könnte mir bitte jemand der Ahnung hat eine wirkliche Hilfestellung bzw Antwort geben ? Danke smile

05.08.2016, 17:26

Euklid93

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Hallo Desogude,

zum ersten Teil: Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ ist, nimmst du dir einen beliebigen Vektor

$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix}x_1 \\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und zeigst, dass du diesen als Linearkombination

$\begin{eqnarray*} v= \sum_{i=1}^5 a_i v_i \end{eqnarray*}$

schreiben kannst (diese Darstellung muss (und kann hier auch) nicht eindeutig sein, da wir lediglich EZS fordern, und keine Basis).

Um zu zeigen, dass die VEREINIGUNG $\begin{eqnarray*} \langle v_1 \rangle \cup \langle v_2 \rangle \end{eqnarray*}$ kein Unterraum ist, musst du zeigen, dass diese Menge eines der Untervektorraumkriterien verletzt. Diese waren (zur Erinnerung): Nichtleer, Abgeschlossenheit bzgl. Vektoraddition und Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation. Stell dir am besten vor, dass $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ zwei der Standardbasisvektoren wären. Die Vereinigung der von ihnen erzeugten Unterräume wäre dann ein Achsenkreuz. Warum ist dieses kein Untervektorraum?

Euklid93

05.08.2016, 17:39

Desogude

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Okay also die erste Teilaufgabe führt mich auf ein inhomogenes LGS und ich bestimmte dann die Lösungsmenge in Abhängigkeit von x_1 bis x_4

Und die Vereinigung ist kein UVR da die Summe zweier Elemente nicht in der Vereinigung liegt.

so ok ?

Wir hatten nur bereits in den Übungen EZS so bewiesen, dass man eine Basis wählte und diese dann um den fehlenden Vektor ergänzte und so ein EZS bekam.

05.08.2016, 18:10

Euklid93

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Genau. Einfacher kannst du auch zeigen, dass die Matrix mit den $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ 's als Spalten vollen Rang hat...

Naja die Aussage, dass die Summe zweier Vektoren nicht mehr drin ist, ist so falsch, und auch nicht nötig. Es genügt zu zeigen, dass es zwei solche Vektoren gibt, sodass ihre Summe nicht mehr drin ist.

Zitat:

Original von Desogude

Wir hatten nur bereits in den Übungen EZS so bewiesen, dass man eine Basis wählte und diese dann um den fehlenden Vektor ergänzte und so ein EZS bekam.

Womit steht diese Aussage in Zusammenhang?

Euklid93

05.08.2016, 19:23

Desogude

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Danke für die Hilfe ^_^

mein Kommentar stand mit meiner ganz am Anfang vorgeschlagenen herangehensweise in Zusammenhang, wie ich beweise ob diese Menge ein EZS ist.

Also

ich habe

$\begin{eqnarray*} v_1 =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \in <v_1> \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} v_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \in <v_2> \end{eqnarray*}$

aber

$\begin{eqnarray*} v_1 + v_2 = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist weder Element von $\begin{eqnarray*} <v_1> \end{eqnarray*}$ noch von $\begin{eqnarray*} <v_2> \end{eqnarray*}$ und somit auch nicht in $\begin{eqnarray*} <v_1> \cup <v_2> \end{eqnarray*}$

Und für die Aufgabe mit dem EZS habe ich das jetzt so verstanden, dass ich bei dem LGS nur zeigen muss, dass es keine Nullzeile gibt, richtig ?

07.08.2016, 11:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von Desogude
Reicht es nicht zu zeigen, dass sich z.B $\begin{eqnarray*} v_5 \end{eqnarray*}$ als linearkombination der restlichen darstellen lässt und diese wiederrum eine Basis des Raumes bilden. Dann kann ich damit argumentieren, dass jede Erweiterung einer Basis immernoch ein Erzeugendensystem ist ? Und somit M ein EZS bildet.

Im Prinzip ja. Wenn du zeigst, daß (v_1, ..., v_4) eine Basis bildet, bist du fertig. Schreibe dazu die Vektoren zeilenweise in eine Matrix und bringe diese auf Zeilenstufenform. Es darf dann keine Nullzeile entstehen.

Zitat:

Original von Desogude
$\begin{eqnarray*} v_1 + v_2 = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist weder Element von $\begin{eqnarray*} <v_1> \end{eqnarray*}$ noch von $\begin{eqnarray*} <v_2> \end{eqnarray*}$ und somit auch nicht in $\begin{eqnarray*} <v_1> \cup <v_2> \end{eqnarray*}$

Korrekt.

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