DGL System - Potenzreihenansatz

05.08.2016, 19:10

yellowman

DGL System - Potenzreihenansatz

Hallo zusammen, gegeben ist das DGL System:

$\begin{eqnarray*} \binom{\dot{x}}{\dot{y}}=\binom{t+t^2y}{tx} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x(0)=y(0)=0 \end{eqnarray*}$

dieses System soll durch Potenzreihenansatz gelöst werden. Es reicht die Angabe der jeweils ersten zwei Glieder die nicht Null sind.

Das System lässt sich auch schreiben als:

$\begin{eqnarray*} I.~\dot{x}=t+t^2y \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} II.~\dot{y}=tx \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} x=\sum_{=0}^{\infty}a_kt^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\sum_{k=0}^{\infty}b_k t^k \end{eqnarray*}$

Das eingesetzt:

Erste Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \dot{x}-t^2y=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1t+\sum_{k=2}^{\infty}[a_kk-b_{k-2}]t^k=t \end{eqnarray*}$

Zweite Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \dot{y}-tx=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_1+\sum_{k=1}^{\infty}[b_{n+1}(n+1)-a_{n-1}]t^n=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n+1}=\frac{a_{n-1}}{n+1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_0=b_0=0 \end{eqnarray*}$

Die erste Gleichung macht mir etwas sorgen da diese inhomogen ist. Entweder habe ich hier etwas übersehen oder es muss zuerst die homogene DGL und anschließend eine partikuläre Lösung gesucht werden?

Vielen Dank!!!

06.08.2016, 10:58

Helferlein

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Bis auf die falsche Summationsvariable in der zweiten Differentialgleichung scheint alles zu stimmen.
Aus der ersten folgt jetzt bei Betrachtung des linearen Anteils des Polynoms a1=1.
Daraus kannst Du rekursiv den Rest bestimmen.

06.08.2016, 12:39

yellowman

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Hallo, ich erhalte erstmal:

$\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_1=0 \end{eqnarray*}$

Mit der rekursiven Formel $\begin{eqnarray*} b_{n+1}=\frac{a_{n-1}}{n+1} \end{eqnarray*}$ erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} b_2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_3=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Weiter geht's nicht da ich für $\begin{eqnarray*} b_4=\frac{a_2}{4} \end{eqnarray*}$ erhalte und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ kenne ich nicht.

Betrachte ich die erste rekursive Folge gilt:

$\begin{eqnarray*} a_k-b_{k-2}=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_k\frac{t+b_{k-2}}{k} \end{eqnarray*}$

Hier stört das $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und ich weiß ehrlich gesagt nicht wie ich hier weiter machen soll.

Vielen Dank!!!

06.08.2016, 13:07

Helferlein

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Zitat:

Betrachte ich die erste rekursive Folge gilt:

$\begin{eqnarray*} a_k-b_{k-2}=t \end{eqnarray*}$

Wie kommst Du denn darauf? Da die Potenzen höher als eins nicht vorkommen, gilt $\begin{eqnarray*} a_k\cdot k =b_{k-2} \end{eqnarray*}$

06.08.2016, 13:44

yellowman

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Alles klar, jetzt habe ich es auch erkannt. Ich erhalte somit:

$\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_5=\frac{1}{3\cdot 5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_6=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_0=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_3=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_5=\frac{1}{3\cdot 5} \end{eqnarray*}$

Hier wird deutlich, dass für $\begin{eqnarray*} a_{2k}=b_{2k}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{2k+1}=b_{2k+1}=\frac{1}{\Pi_{k=0}^{n}(2k+1)} \end{eqnarray*}$ gilt.

Damit müsste die Lösung $\begin{eqnarray*} x(t)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{2k+1}t^{2k+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y(t)=\sum_{k=0}^{\infty}b_{2k+1}t^{2k+1} \end{eqnarray*}$

Passt das soweit?

Vielen Dank!!!

06.08.2016, 14:00

Helferlein

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Es war nur nach den ersten beiden Gliedern ungleich Null gefragt. Augenzwinkern

Wenn Du dir aber schon die Mühe einer allgemeinen Lösung machst, solltest Du Fakultäten nutzen, um auf eine geschlossene Form zu kommen.

06.08.2016, 14:11

yellowman

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Die ersten beiden Glieder ungleich Null sind $\begin{eqnarray*} a_1=b_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_3=b_3=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Das soll's schon gewesen sein?

Es gibt noch den Zusammenhang mit $\begin{eqnarray*} \Pi_{k=0}^{n}(2k+1)=\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!} \end{eqnarray*}$
Das wird nur noch eingesetzt und man hat eine Formel mit Fakultäten dort stehen.

Vielen Dank!!!

06.08.2016, 20:27

Helferlein

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RE: DGL System - Potenzreihenansatz
Leider merke ich erst jetzt, dass die Gleichung im ersten Posting schon nicht ganz stimmt.

Es ist $\begin{eqnarray*} \dot{x}-t^2y=t \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{\infty}k \cdot a_k t^{k-1}-\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}t^{k+2}=t \Leftrightarrow a_1+2a_2t+\sum_{k=3}^{\infty}k \cdot a_k t^{k-1}-\sum_{k=3}^{\infty}b_{k-3}t^{k-1}=t \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \dot{y}-tx=0 \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{\infty}k \cdot b_k t^{k-1}-\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}t^{k+1}=0 \Leftrightarrow b_1+\sum_{k=1}^{\infty}(k+1) \cdot b_{k+1} t^{k}-\sum_{k=1}^{\infty}a_{k-1}t^{k}=0 \end{eqnarray*}$

Die Schlussfolgerungen müssen also ein wenig überarbeitet werden.

06.08.2016, 21:48

yellowman

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RE: DGL System - Potenzreihenansatz
Wie es ausschaut habe ich mich bei der ersten Gleichung verrechnet. Ich erhalte nach nochmaligen nachrechnen:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{b_{n-2}}{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n+1}=\frac{a_{n-1}}{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
...
bis $\begin{eqnarray*} a_7=\frac{1}{7\cdot 8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_0=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_4=\frac{1}{2\cdot 4} \end{eqnarray*}$
...
bis $\begin{eqnarray*} b_8=\frac{1}{7\cdot 8\cdot 9} \end{eqnarray*}$

Damit sind $\begin{eqnarray*} a_2, a_7 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_4,b_8 \end{eqnarray*}$ die ersten beiden Glieder ungleich Null.
Das wäre damit auch die Lösung der Aufgabe?
Wenn das korrekt ist, was bringen mir die ersten beiden Glieder denn?

Vielen Dank!!!

06.08.2016, 22:50

Helferlein

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Das zweite muss b9 heissen.
Die Lösung sind die sich daraus ergebenden Funktionen x(t) und y (t) und stelken eine Näherung in der Nähe des Nullpunktes dar.

06.08.2016, 23:01

yellowman

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Alles klar. Ich denke damit ist nun alles geklärt. Besten Dank für deine Hilfe.

Bis zum nächsten mal! Wink

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