Eckpunkte einer Mehr-Dim Funktion eingeschränkt auf ein Gebiet

06.08.2016, 10:36	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Eckpunkte einer Mehr-Dim Funktion eingeschränkt auf ein Gebiet Hallo, $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^2 \to \mathbb R, (x,y)\mapsto 2x^3-12x+3y^2+6xy \end{eqnarray}$ Die Aufgabe war, die lokal krit. Punkte zu finden und auszuwerten. Es gilt: $\begin{eqnarray} p_1=(2,-2) \end{eqnarray}$ ist Minima und $\begin{eqnarray} p_2=(-1,1) \end{eqnarray}$ ist Sattelpunkt Nun gibts die Nebenbedingung: $\begin{eqnarray} D:=\{(x,y)\in\mathbb R^2 \| x\geq 0, y\geq 0, x+y=1 \end{eqnarray}$ Ich soll die globalen krit. Stellen finden. Man sieht leicht, dass $\begin{eqnarray} p_1, p_2 \end{eqnarray}$ nicht drin ist, wir diese also nicht zu betrachten haben. Unabhängig davon, müssen wir aber die Randpunkte anschauen. Die Frage ist also, wie finde ich die Eckpunkte? Ich habe mir überlegt: Im eindimensionalen Fall ist es einfach, man nimmt einfach die Eckpunkte des Intervalls. Hier wäre das also: $\begin{eqnarray} (0,0), (1,1), (1,0), (0,1) \end{eqnarray}$ und wertet sie in f aus. Die Überlegung ist, so bin ich mir eigentlich sicher, falsch. Immerhin sind wir im mehrdimensionalen Fall, sprich: Unser Rand ist nicht ein Punkt sondern ein Weg. Ich habe das ganze auch geplottet: https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+2x^3-12x%2B3y^2%2B6xy,+x%3D0..1,+y%3D0..1 https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+2x^3-12x%2B3y^2%2B6xy Es könnte nun ja sein, dass am Rand irgendwo ein Extrem ist, und nicht an den 4 Eckpunkten. Wie also werte ich den Rand korrekt aus? Eine Idee ist, eine parametrisierung für den Rand zu finden und diese jeweils abzuleite - klingt aber nach zuviel Arbeit :p Wie also mache ich es korrekt? [Ich glaube das geht per Lagrange-Funktion, aber es gibt sicher auch einen Weg ohne, oder? Ich verstehe die Lagrange-Funktion noch nicht so richtig intuitiv.] Ausserdem noch 2 fragen: Hier wurde explizit nach den lokalen Stellen gefragt, d.h. ich kann den Rand automatisch ignorieren oder? Fragen sie nach global, so sollte ich alles anschauen, oder? Mir ist auch klar, dass ich durch auswerten der Jacobi sowie Hesse Matrix von f ohne Nebenbedigung keine Randpunket finden würde, da man ein offenes Intervall braucht um abzuleiten. Edit: Mir ist auch klar, dass wir einfach f anschauen können für $\begin{eqnarray} x,y\in[0,1] \end{eqnarray}$ und einfach "sehen" dass die Ecktpunkte Kandidaten sind - aber so einen schönen Fall hat man ja nicht immer Edit: Falls hier wer mitliest und die Lagrange-Funktion besser verstehen will: http://statmath.wu.ac.at/courses/mvw_mat...unktion-2x4.pdf
08.08.2016, 12:51	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eckpunkte einer Mehr-Dim Funktion eingeschränkt auf ein Gebiet Aufgrund der Nebenbedingung x+y=1 sehe ich hier nur eine Einschränkung des $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray}$ auf die Verbindungsstrecke zwischen zwei (Rand-)Punkten im 1. Quadranten, also kein 2-dimensionales Gebiet. Nachdem sich die Nebenbedingung auch schön nach y umstellen läßt, können globale Extrema von f auf der Einschränkung mittels Einsetzmethode gefunden werden, also f(x,y) reduziert sich zu f(x). Dass für f(x,y) ohne Nebenbedingung nur lokale, nicht globale Extrema existieren können, sieht man der Funktionsvorschrift ja eigentlich gleich an.

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