Potenzen und Wurzeln

06.08.2016, 15:28

Frozen1986

Potenzen und Wurzeln

Hallo Mathematiker ich habe bei folgender Aufgabe Schwierigkeiten es zu lösen:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt[3]{4} +2*\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{12})*\sqrt[3]{2}= \end{eqnarray*}$

Meine vorgehnsweisen:

1. Wurzel aufheben

$\begin{eqnarray*} (4^{\frac{1}{3} } +2*2^{\frac{1}{3}}-12^{\frac{1}{3} })*2^{\frac{1}{3}}= \end{eqnarray*}$

Frage: kann man hier das Multiplizieren Kürzen?

$\begin{eqnarray*} (4^{\frac{1}{3} } +2\textcolor{red}{*2^{\frac{1}{3}}}-12^{\frac{1}{3} })\textcolor{red}{*2^{\frac{1}{3}}}= \end{eqnarray*}$

2. Ausrechnen nach rechenregeln zuerst den Inhalt der Klammer:

$\begin{eqnarray*} (4^{\frac{1}{3} } +4^{\frac{2}{3}}-12^{\frac{1}{3} })*2^{\frac{1}{3}}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (8^{\frac{3}{3} } -12^{\frac{1}{3} })*2^{\frac{1}{3}}= \end{eqnarray*}$

Ich weiß das ich hier falsch unterwegs bin
Laut Lösungsbuch soll:

$\begin{eqnarray*} 2*(1+2^{\frac{2}{3} }-3^{\frac{1}{3}}) \end{eqnarray*}$

Rauskommen. Nur ist es für mich nicht nachvollziehbar wie ich auf das Ergebnis komme.

LG
Frozen

06.08.2016, 15:46

willyengland

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2 Tipps:

$\begin{eqnarray*} 4^{1/3} = 2^{2/3} \end{eqnarray*}$
und:
$\begin{eqnarray*} 2^{1/3}* 2^{1/3}= 2^{2/3} \end{eqnarray*}$

Guck dir noch mal die Rechenregeln für Potenzen an.

06.08.2016, 18:39

Frozen1986

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Hallo Ich komm beim lösen nicht voran wie rechne ich da beispielsweise:

$\begin{eqnarray*} 2*2^{\frac{1}{3} } = 4^{\frac{2}{3} } ? \end{eqnarray*}$

Oder

$\begin{eqnarray*} 4^{\frac{1}{3} }+2^{\frac{1}{3}} = ? \end{eqnarray*}$

06.08.2016, 18:56

Gast0608

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2=2^1

2*2^(1/3)= 2^(1+1/3)= 2^(3/3+1/3)=2^(4/3)

4^(1/3)+2^(1/3) kann man nicht zusammenfassen.

08.08.2016, 14:00

Frozen1986

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Habe die Gleichung nun wie folgt gelöst aber bin mir nicht sicher ob es so richtig ist:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt[3]{4}+2*\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{12})*\sqrt[3]{2}= \end{eqnarray*}$

Mal zwei Ausklammern und mit $\begin{eqnarray*} 2^{\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$ Ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} =(4^{\frac{1}{3} }+2*2^{\frac{1}{3}}-12^{\frac{1}{3}} )*2^{\frac{1}{3}}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*(4^{\frac{1}{3}}+^{\frac{1}{3} }+2^{\frac{1}{3}}+^{\frac{1}{3} }-12^{\frac{1}{3}}+^{\frac{1}{3} })= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*(4^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{2}{3}}-12^{\frac{2}{3}})= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 12^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ kürzen

Gekürzt:

$\begin{eqnarray*} 12^{\frac{2}{3}}/4^{\frac{2}{3}}= 3^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\underline{\underline{2*(1+2^{\frac{2}{3} }-3^{\frac{1}{3}} }}) \end{eqnarray*}$

LG
Frozen

08.08.2016, 14:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Frozen1986
$\begin{eqnarray*} =(4^{\frac{1}{3} }+2*2^{\frac{1}{3}}-12^{\frac{1}{3}} )*2^{\frac{1}{3}}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*(4^{\frac{1}{3}}+^{\frac{1}{3} }+2^{\frac{1}{3}}+^{\frac{1}{3} }-12^{\frac{1}{3}}+^{\frac{1}{3} })= \end{eqnarray*}$

Was machst du denn da? Das 2* vorn sehe ich mal bloß als Relikt an, was du vergessen hast wegzustreichen. Aber auch ansonsten gilt: Das +1/3 im Exponenten darfst du NUR an entsprechende Zweierpotenzexponenten anhängen!!!

Daher wäre neben dem von willyengland erwähnten Tipps vorher noch die 12er-Potenz passend umzuformen, d.h. aus $\begin{align*} 12=2^2\cdot 3 \end{align*}$ folgt $\begin{align*} 12^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{3}} \end{align*}$ . Damit ist dann

$\begin{align*} \left( 4^{\frac{1}{3}} + 2\cdot 2^{\frac{1}{3}} - 12^{\frac{1}{3}} \right) \cdot 2^{\frac{1}{3}} = \left( 2^{\frac{2}{3}} + 2\cdot 2^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{3}} \right) \cdot 2^{\frac{1}{3}} \stackrel{!!!}{=} 2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} + 2\cdot 2^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}} - 2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{3}} \end{align*}$ ,

und nun weiter...

16.08.2016, 14:02

Frozen1986

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Danke Hal für deine Hilfe, nun habe ich versucht das ganze fortzusetzen jedoch bin ich mir nicht ganz sicher ob das stimmt:

$\begin{eqnarray*} 2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3} }+2*2^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}-2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} *3^\frac{1}{3} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{\frac{3}{3}}+2*2^{\frac{2}{3}}-2^{\frac{3}{3}}*3^\frac{1}{3} = \end{eqnarray*}$

Ausklammern von *2

$\begin{eqnarray*} 2*( 2^{\frac{3}{3}}+2^{\frac{2}{3}}-2^{\frac{3}{3}}*3^\frac{1}{3}) = \end{eqnarray*}$

Subtrahieren

$\begin{eqnarray*} 2*( { \color{red}2^{\frac{3}{3}}}+1+2^{\frac{2}{3}}{ \color{red}-2^{\frac{3}{3}}}*3^\frac{1}{3}) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*( 1+2^{\frac{2}{3}}*3^\frac{1}{3}) = \end{eqnarray*}$

Und wie kommt man dann hier auf das ergebnis zu den minus $\begin{eqnarray*} 3^\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\underline{\underline{2*(1+2^{\frac{2}{3} }{ \color{red}-3^{\frac{1}{3}} }}}) \end{eqnarray*}$ ]

16.08.2016, 14:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von Frozen1986
$\begin{eqnarray*} 2^{\frac{3}{3}}+2*2^{\frac{2}{3}}-2^{\frac{3}{3}}*3^\frac{1}{3} = \end{eqnarray*}$

Ausklammern von *2

$\begin{eqnarray*} 2*( 2^{\frac{3}{3}}+2^{\frac{2}{3}}-2^{\frac{3}{3}}*3^\frac{1}{3}) = \end{eqnarray*}$

Das mit dem Ausklammern ist anscheinend noch nicht verstanden. Wenn du den Faktor 2 ausklammern willst, mußt du aus jedem Summanden den Faktor 2 rausziehen. Rechne doch mal dein Ergebnis rückwärts, indem du die 2 wieder reinmultiplizierst. Kommt das gleiche wie vorher raus?

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