Wahr/Falsch, Rand Innere

06.08.2016, 19:41

StrunzMagi

Wahr/Falsch, Rand Innere

Meine Frage:
Wahr oder Falsch? Im folgenden ist Z ein fixer topologischer Raum, $\begin{eqnarray*} X \subset Z \end{eqnarray*}$ eine beliebige Teilmenge.
-) $\begin{eqnarray*} (\partial X)^{°}= \emptyset \end{eqnarray*}$
-) $\begin{eqnarray*} \partial (\partial X)= \partial X \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hallo,

Ich denke nicht, dass beim ersten das Innere bezüglich X gemeint ist sondern bezüglich Z.
Gegenbeispiel:
Sei $\begin{eqnarray*} Z= (\mathbb{R}, \mathcal{O}) \end{eqnarray*}$ mit der übligen Topologie und $\begin{eqnarray*} X= \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} \partial \mathbb{Q}= \overline{\mathbb{Q}} \setminus \mathbb{Q}^{°} = \mathbb{R} \setminus \emptyset = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{°}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \partial (\partial X)= \overline{\partial X} \setminus (\partial X)^{°} \subseteq \overline{\partial X}= \partial X \end{eqnarray*}$ da der Rand abgeschlossen ist.
Gilt aber auch die andere Inklusion?

06.08.2016, 20:10

StrunzMagi

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Ah ich habs die andere Teilmengeninklusion gilt nicht da
$\begin{eqnarray*} \partial \mathbb{Q}= \mathbb{R}, \partial \mathbb{R}=\emptyset \end{eqnarray*}$

Noch eine Frage gilt die erste Gleichheit $\begin{eqnarray*} (\partial X)^{°}= \emptyset \end{eqnarray*}$ für X offen?

06.08.2016, 22:00

Guppi12

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Hallo,

alles, was du schreibst, ist richtig.

Zitat:

Noch eine Frage gilt die erste Gleichheit $\begin{eqnarray*} (\partial X)^{°}= \emptyset \end{eqnarray*}$ für X offen?

Ja, das stimmt. Nützlich dafür ist die folgende Charakterisierung des Randes: Es ist $\begin{eqnarray*} x\in\partial X \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn für jede offene Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} U\cap X\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U\cap X^c\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ . Jetzt nimm an, das Innere des Randes wäre nicht leer.

07.08.2016, 09:24

StrunzMagi

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Hallo,

Ich verstehe den Widerspruch nicht.
Ang. $\begin{eqnarray*} (\partial X)° \not= \emptyset \end{eqnarray*}$ .
Dann gibt es offene Mengen $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \partial X \subset U \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} x \in \partial X \end{eqnarray*}$ , nach Charakterisiereung gilt für jede offene Umgebung W die x enthält dass $\begin{eqnarray*} W\cap X\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W\cap X^c\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ .
Nach $\begin{eqnarray*} \partial X \subset U \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} U\cap X\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U\cap X^c\neq \emptyset \end{eqnarray*}$

07.08.2016, 11:26

Guppi12

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Versuche es nochmal mit dem richtigen: "Es gibt eine nichtleere offene Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U\subset \partial X \end{eqnarray*}$ ." Das, was du hingeschrieben hast ist trivial und immer erfüllt, zum Beispiel für $\begin{eqnarray*} U=Z \end{eqnarray*}$ .

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