Taylor und Big/Small O Notation

07.08.2016, 11:53	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor und Big/Small O Notation Hallo, $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^n)}{((\sin(x))^n} \end{eqnarray}$ für fixes n. Meine Frage ist, wie ich korrekt diese big O Notation anwende. Was ich machen würde: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^n)}{((\sin(x))^n}=\lim_{x\to 0}\frac{x^n-\frac{x^{3n}}{6}+O(x^{4n})}{(x-\frac{x^3}{6}+O(x^4))^n}=\lim_{x\to 0} \frac{ x^n(1-x^{2n}+O(x^{3n}))}{(x(1-\frac{x^2}{6}+O(x^3))^n}\lim_{x\to 0}\frac{1-x^{2n}+O(x^{3n})}{(1-\frac{x^2}{6}+O(x^3))^n}=\frac{1}{1^n}=1 \end{eqnarray}$ Meine Frage ist nun: Stimmt es wie ich das O verwendet habe? Was ich mache ist folgendes: Ich schaue, bis zu welcher Potenz ich entwickle. Sei dies nun z.B. die k-te Potenz. Dann schreibe ich das Taylor Polynom bis und, falls vorhanden, mit der k-ten Potenz. Dann $\begin{eqnarray} +O(x^{k+1}) \end{eqnarray}$ . Ist die k-te POtenz nicht teil des Polynoms, so schreibe ich $\begin{eqnarray} +O(x^k) \end{eqnarray}$ . Muss ich jetzt $\begin{eqnarray} p<=k \end{eqnarray}$ Potenzen ausklammern, so schreibe ich $\begin{eqnarray} O(x^{k-p}) \end{eqnarray}$ Ich weis jedoch nicht, ob das so wirklich korrekt ist.
07.08.2016, 12:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist soweit korrekt, du hättest sogar stärker mit $\begin{align} O(x^{5n}) \end{align}$ bzw. $\begin{align} O(x^5) \end{align}$ operieren können, da in der Sinuspotenzreihe die geraden Potenzen fehlen. Wobei in deinem Beispiel sowieso sogar ein Glied weniger ausreichend gewesen wäre, d.h. $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^n)}{((\sin(x))^n} = \lim_{x\to 0} \frac{x^n+O(x^{3n})}{(x+O(x^3))^n}=\lim_{x\to 0} \frac{ x^n(1+O(x^{2n}))}{(x(1+O(x^2))^n} = \lim_{x\to 0}\frac{1+O(x^{2n})}{(1+O(x^2))^n}=1 \end{eqnarray}$ .
08.08.2016, 10:35	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist das mit dem Glied später auch klar geworden. Ich setzte den Exponenten im O immer einfach eins weiter - unabh. davon ob es im Term fehlt. Aber ja, denke das ist ein Detail das egal ist, solange ich mir darüber im klaren bin. merci

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