Endlichkeit beweisen

07.08.2016, 13:01	SAKOISO	Auf diesen Beitrag antworten »
Endlichkeit beweisen Hallo Matheinteressierte, sei $\begin{eqnarray} (x_{k})_{k\ge 0} \end{eqnarray}$ eine positiv, monoton steigende Folge, ich möchte nun folgende Äquivalenz zeigen: $\begin{eqnarray} \lim_{k\to \infty}x_{k}<\infty \Leftrightarrow \sum_{k=0}^{\infty} x_{k}^{-1}(x_{k+1}-x_{k})< \infty \end{eqnarray}$ . Die Richtung $\begin{eqnarray} " \Rightarrow " \end{eqnarray}$ konnte einfach mithilfe des Logarithmus und der Ungleichung $\begin{eqnarray} log(x)\le x-1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ und der Eigenschaft von $\begin{eqnarray} x_{k} \end{eqnarray}$ gezeigt werden. Probleme habe ich nun mit der anderen Richtung Kann mir jemand helfen?
07.08.2016, 13:47	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, die Hinrichtung könnte man auch etwas elementarer so beweisen: Es gilt $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty {x_k}^{-1}(x_{k+1}-x_k) \leq \frac{1}{x_0}\sum_{k=0}^\infty (x_{k+1}-x_k) =\frac{1}{x_0}\lim_{n\to\infty}(x_n-x_0) \end{eqnarray}$ . Zur Rückrichtung: Verwende das Cauchykriterium für Reihen (oder auch direkt die Definition von Reihenkonvergenz). Zu $\begin{eqnarray} \epsilon = \frac 12 \end{eqnarray}$ gibt es $\begin{eqnarray} N\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , sodass für $\begin{eqnarray} n> N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=N}^{n-1} \frac{1}{x_k}(x_{k+1}-x_k)<\epsilon \end{eqnarray}$ .
07.08.2016, 14:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Alternative für die Rückrichtung: Aus der Konvergenz $\begin{align} \sum_{k=0}^{\infty} x_k^{-1}\left( x_{k+1}-x_k\right) \end{align}$ folgt die Beschränktheit der Partialsummen, d.h., es gibt ein $\begin{align} L \end{align}$ mit $\begin{align} \sum_{k=0}^n x_k^{-1}\left( x_{k+1}-x_k\right) = \sum_{k=0}^n \left( \frac{x_{k+1}}{x_k}-1\right) \leq L \end{align}$ für alle $\begin{align} n \end{align}$ . Nun gilt für alle positiven reellen $\begin{align} t \end{align}$ die Ungleichung $\begin{align} \ln(t)\leq t-1 \end{align}$ , damit folgt $\begin{align} L\geq \sum_{k=0}^n \ln\left( \frac{x_{k+1}}{x_k}\right) = \ln\left( \prod_{k=0}^n \frac{x_{k+1}}{x_k}\right) = \ln\left( \frac{x_{n+1}}{x_0}\right) \end{align}$ , das bedeutet $\begin{align} x_{n+1} \leq x_0\cdot e^L \end{align}$ , also Beschränktheit und damit Konvergenz von $\begin{align} (x_n) \end{align}$ .

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